Algebraic Morse Theory

離散 Morse 理論は, 生成元を潰して少なくする手順を与える理論である。 CW複体の場合は, 胞体が生成元であり, partial matching があると, その matching している組を潰して胞体の数を減らすことができる。

このように考えると, 代数的な類似を考えるのも自然に思える。 ホモトピーが必要なので, ホモロジー代数での類似であるが。 より具体的には, chain complex に対する類似である。 何人かにより, 独立に考えられたようである。Kozlov の [Koz05], Batzies と Welker の [BW02] とそれを発展させた Jöllenberg と Welker の [JW; JW09], そして Sköldberg の [Skö06] がある。 Kozlov は, [Koz08] の中で algebraic Morse theory と呼んでいる。

Sköldberg の [Skö18] は homological perturbation lemma から得られることを指摘しているが, Chen ら [CLZ] はそれを推し進め, algebraic Morse theory の一般化を得ている。 Chen らは, homological perturbation lemma については, Crainic の [Cra] を参照している。

• homological perturbation lemma

別の方向への一般化としては, \(N\)-complex への一般化を Jonsson [Jon] が得ている。

• \(N\)-complex に対する algebraic Morse theory

一般化としては, Donau [Don] による equivariant 版もある。

• equivariant algebraic Morse theory

References

[BW02]

E. Batzies and V. Welker. “Discrete Morse theory for cellular resolutions”. In: J. Reine Angew. Math. 543 (2002), pp. 147–168. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2002.012.

[CLZ]

Jun Chen, Yuming Liu, and Guodong Zhou. Algebraic Morse Theory via Homological Perturbation Lemma with Two Applications. url: http://math0.bnu.edu.cn/~liuym/paper/Chen-Liu-Zhou.pdf.

[Cra]

M. Crainic. On the perturbation lemma, and deformations. arXiv: math/0403266.

[Don]

Ralf Donau. Equivariant Algebraic Morse Theory. arXiv: 1803.09098.

[Jon]

Jakob Jonsson. A refinement of amplitude homology and a generalization of discrete Morse theory. url: https://people.kth.se/~jakobj/doc/submitted/amplitude.pdf.

[JW]

Michael Jöllenbeck and Volkmar Welker. Resolution of the residue class field via algebraic discrete Morse theory. arXiv: math/0501179.

[JW09]

Michael Jöllenbeck and Volkmar Welker. “Minimal resolutions via algebraic discrete Morse theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 197.923 (2009), pp. vi+74. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0923.

[Koz05]

Dmitry N. Kozlov. “Discrete Morse theory for free chain complexes”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 340.12 (2005), pp. 867–872. arXiv: cs . DM / 0504090. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2005.04.036.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Skö06]

Emil Sköldberg. “Morse theory from an algebraic viewpoint”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 358.1 (2006), 115–129 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-05-04079-1.

[Skö18]

Emil Sköldberg. “Algebraic Morse theory and homological perturbation theory”. In: Algebra Discrete Math. 26 (2018), pp. 124–129. arXiv: 1311.5803.