Affine manifold

座標変換が affine変換で与えられている多様体を, affine manifold という。 日本語に訳すと, 代数幾何学でいう affine variety と混同しそうな名前である。

• integral affine manifold

Gross と Siebert が, mirror symmetry のために toric degeneration を導入した長い論文 [GS06] では, 基本的なことは Goldman と Hirsch の [GH84] を見るように書いてある。このGrossとSiebertの論文の最初にも結構詳しく書いてある。 凸多面体 を貼り合わせてできるので, 組み合せ論的なデータで記述できる。 これについても, Gross と Siebert の論文に詳しく書いてある。 そこには affine manifold with singularity やその polyhedral decomposition についても書いてある。

• affine manifold with singularity

更に, Gross と Siebert は, [GS11] で affine manifold with singularity, つまり凸多面体の族から Calabi-Yau 多様体の degeneration を構成している。Mirror symmetry の理論にどんどん組み合せ論的な道具が導入されているようで興味深い。

References

[GH84]

William Goldman and Morris W. Hirsch. “The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 286.2 (1984), pp. 629–649. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999812.

[GS06]

Mark Gross and Bernd Siebert. “Mirror symmetry via logarithmic degeneration data. I”. In: J. Differential Geom. 72.2 (2006), pp. 169–338. arXiv: math/0309070. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143593211.

[GS11]

Mark Gross and Bernd Siebert. “From real affine geometry to complex geometry”. In: Ann. of Math. (2) 174.3 (2011), pp. 1301–1428. arXiv: math/0703822. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2011.174.3.1.