Azumaya Algebra

Azumaya は, [Azu51] で Azumaya algebra の概念を導入し, Brauer group の定義を体から local ring に拡張した。 Azumaya は local ring 上の Azumaya algebra を定義したが, その後 Auslander と Goldman [AG60] により任意の ground ring で通用する定義が発見されている。

Hazrat と Millar [HM10] は Knus の本 [Knu91] を参照している。Knus は, 他にも Ojanguren と本 [KO74] を書いている。 最初に Millar thesis [Mil] の Introduction を読むと良いかもしれない。

定義は, その後様々な方向に拡張され, それにより Brauer group の定義も拡張されている。

まず, Grothendieck [Gro68; Gro95] により scheme, より一般に ringed space 上の Azumaya algebra の sheaf が調べられている。

Sheaf は scheme だけでなく, 位相空間でも定義できるが, 位相空間上の Azumaya algebra は Antieau と Williams [AW14] により考えられている。

Toën [Toë12] は simplicial ring 上の derived Azumaya algebra や derived stack 上の derived Azumaya algebra を定義している。 Tabuada [Tab16] は, dg Azumaya algebraと呼んでいるが。

• derived Azumaya algebra or dg Azumaya algebra

Derived algebraic geometry では, Antieau の Gepner [AG14] がある。

安定ホモトピー論, つまり ring spectrum に対する拡張は, Baker と Richter と Szymik の [BRS12] で導入されている。

• Azumaya algebra of ring spectrum

また, braided monoidal category での Azumaya algebra が Van Oystaeyen と Zhang [VZ98] により導入されている。

References

[AG14]

Benjamin Antieau and David Gepner. “Brauer groups and étale cohomology in derived algebraic geometry”. In: Geom. Topol. 18.2 (2014), pp. 1149–1244. arXiv: 1210 . 0290. url: https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.1149.

[AG60]

Maurice Auslander and Oscar Goldman. “The Brauer group of a commutative ring”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960), pp. 367–409.

[AW14]

Benjamin Antieau and Ben Williams. “The period-index problem for twisted topological \(K\)-theory”. In: Geom. Topol. 18.2 (2014), pp. 1115–1148. arXiv: 1104.4654. url: https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.1115.

[Azu51]

Gorô Azumaya. “On maximally central algebras”. In: Nagoya Math. J. 2 (1951), pp. 119–150. url: http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118764746.

[BRS12]

Andrew Baker, Birgit Richter, and Markus Szymik. “Brauer groups for commutative \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.11 (2012), pp. 2361–2376. arXiv: 1005 . 5370. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.03.001.

[Gro68]

Alexander Grothendieck. “Le groupe de Brauer. I. Algèbres d’Azumaya et interprétations diverses”. In: Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas. Amsterdam: North-Holland, 1968, pp. 46–66.

[Gro95]

Alexander Grothendieck. “Le groupe de Brauer. I. Algèbres d’Azumaya et interprétations diverses [ MR0244269 (39 #5586a)]”. In: Séminaire Bourbaki, Vol. 9. Paris: Soc. Math. France, 1995, Exp. No. 290, 199–219.

[HM10]

Roozbeh Hazrat and Judith R. Millar. “A note on \(K\)-theory of Azumaya algebras”. In: Comm. Algebra 38.3 (2010), pp. 919–926. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870902828710.

[Knu91]

Max-Albert Knus. Quadratic and Hermitian forms over rings. Vol. 294. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a foreword by I. Bertuccioni. Berlin: Springer-Verlag, 1991, pp. xii+524. isbn: 3-540-52117-8.

[KO74]

Max-Albert Knus and Manuel Ojanguren. Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 389. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974, pp. iv+163.

[Mil]

Judith R Millar. \(K\)-Theory of Azumaya Algebras. arXiv: 1101.1468.

[Tab16]

Gonçalo Tabuada. “A note on secondary \(K\)-theory”. In: Algebra Number Theory 10.4 (2016), pp. 887–906. arXiv: 1506.00916. url: https://doi.org/10.2140/ant.2016.10.887.

[Toë12]

Bertrand Toën. “Derived Azumaya algebras and generators for twisted derived categories”. In: Invent. Math. 189.3 (2012), pp. 581–652. arXiv: 1002.2599. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-011-0372-1.

[VZ98]

Fred Van Oystaeyen and Yinhuo Zhang. “The Brauer group of a braided monoidal category”. In: J. Algebra 202.1 (1998), pp. 96–128. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1997.7295.