全ての頂点の座標が \(0\) か \(1\) である凸多面体, つまり単位立方体 \([0,1]^n\) の頂点を適当に選んでその convex hull を取ったものを, \(0/1\)-polytope という。

定義だけ見ると単純そうに思えるが, Ziegler の解説 [Zie00] を読んでみると, 次元が高くなると非常に複雑になることが分かる。Zong の [Zon05] にも解説がある。

各次元に何個あるか, というのは基本的な問題であるが, これまでは \(5\)次元まで (Aichholzer の [Aic00]) しか分っていなかった。 \(6\)次元では頂点 \(12\)個までのものしか分かっていなかったようであるが, Chen と Guo の [CG14] で \(12\)個より多いものについても分かったようである。

\(0/1\)-polytope の不変量として, Há と Lin が [HL15] で導入したものがある。彼等は, \(0/1\)-polytope に対し hypergraph を定義した。

例としては, グラフの cut polytope や orbitope や half cube などがある。

Orbitope は Kaibel と Pfetsch により [KP08] で定義された。更に [FK09] で調べられている。

Half cube は立方体の頂点を一つおきに取ってできる \(0/1\)-polytope である。 R.M. Green の [Gre09] で詳しく調べられている。その目的は, half cube の subcomplex として定義される CW複体ホモロジー上のtype \(D_n\) の Coxeter group の表現を 考えることである。[Gre10] でその表現について調べられている。



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