Ed Brown’s Twisted Tensor Product

Ed Brown [Bro59] は chain level での fibration の total space のモデルとして, dg algebra \(A\) と dg coalgebra \(C\) と twisting cochain \(\tau : C\to A\) と呼ばれる写像から, dg algebra \(C\otimes _{\tau }A\) を構成する方法を導入した。

• twisting cochain

DG algebra と dg coalgebra の文脈で書かれた文献としては, Gugenheim の [Gug72] や Husemoller, Moore, Stasheff の [HMS74] を挙げるべきだろうか。

この dg algebra \(C\otimes _{\tau }A\) は twisted tensor product と呼ばれるが, 同じ名前で2つの associative algebra \(A\) と \(B\) とある条件をみたす写像 \(B\otimes A\to A\otimes B\) から定義される associative algebra の構成 [CSV95; VV94] もあるのでまぎらわしい。

Huebschmann と Stasheff の [HS02] の Introduction に書かれているように, twisting cochain の条件である \[ d\tau -\tau ^{2} =0 \] あるいは \[ d\tau - \frac {1}{2}[\tau ,\tau ] = 0 \] は, 物理では master equation と呼ばれて, 古くから考えられているようである。 そこでは, Batalin と Vilkovisky の [BV83] が挙げられている。 また, DG Lie algebra の文脈では, Maurer-Cartan element と呼ばれる。

• master equation
• Maurer-Cartan element

Huebschmann と Stasheff の論文にも書かれているように, twisting cochain の条件 (あるいは master equation) として \[ d\tau + \tau ^{2} =0 \] を用いることもできるし, 実際そのような文献も多いようである。

このときの \(d\) は, dg algebra \(\Hom (C,A)\) の微分であるが, より一般の dg algebra でこの条件をみたす元を考えることもできる。

Huebschmann の [Hue99] では, dg algebra \(A\) の twisting cochain の集合から Berikashvili [Ber68] により構成された dg algebra \(D(A)\) について述べられている。

• Berikashvili’s functor \(D\)

Huebschmann は, [Hue19; Hue] などで Berikashvili の functor を調べている。

References

[Ber68]

N. A. Berikašvili. “The differentials of a spectral sequence”. In: Sakharth. SSR Mecn. Akad. Moambe 51 (1968), pp. 9–14.

[Bro59]

Edgar H. Brown Jr. “Twisted tensor products. I”. In: Ann. of Math. (2) 69 (1959), pp. 223–246. url: https://doi.org/10.2307/1970101.

[BV83]

I. A. Batalin and G. A. Vilkovisky. “Quantization of gauge theories with linearly dependent generators”. In: Phys. Rev. D (3) 28.10 (1983), pp. 2567–2582. url: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.28.2567.

[CSV95]

Andreas Cap, Hermann Schichl, and Jiří Vanžura. “On twisted tensor products of algebras”. In: Comm. Algebra 23.12 (1995), pp. 4701–4735. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879508825496.

[Gug72]

V. K. A. M. Gugenheim. “On the chain-complex of a fibration”. In: Illinois J. Math. 16 (1972), pp. 398–414. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256065766.

[HMS74]

Dale Husemoller, John C. Moore, and James Stasheff. “Differential homological algebra and homogeneous spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 5 (1974), pp. 113–185. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(74)90045-0.

[HS02]

Johannes Huebschmann and Jim Stasheff. “Formal solution of the master equation via HPT and deformation theory”. In: Forum Math. 14.6 (2002), pp. 847–868. arXiv: math / 9906036. url: https://doi.org/10.1515/form.2002.037.

[Hue]

Johannes Huebschmann. The breadth of Berikashvili’s functor D. arXiv: 2403.15906.

[Hue19]

Johannes Huebschmann. “Pseudo Maurer-Cartan perturbation algebra and pseudo perturbation lemma”. In: Georgian Math. J. 26.2 (2019), pp. 199–209. arXiv: 1812 . 05810. url: https://doi.org/10.1515/gmj-2019-2020.

[Hue99]

J. Huebschmann. “Berikashvili’s functor \(D\) and the deformation equation”. In: Proc. A. Razmadze Math. Inst. 119 (1999), pp. 59–72. arXiv: math/9906032.

[VV94]

A. Van Daele and S. Van Keer. “The Yang-Baxter and pentagon equation”. In: Compositio Math. 91.2 (1994), pp. 201–221. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1994__91_2_201_0.