Topological Modular Forms and Related Spectra

\(v_2\)-periodicな cohomology を構成する試みには, 様々なアプローチがある。 今のところ, 「ホモトピー論的に正しい」のは, \(\mathrm {tmf}\) (topological modular forms) と呼ばれる spectrum だろう。

\(\mathrm {tmf}\) の解説としては, Goerss の [Goe10] がある。 他には, 解説とは言えないが, Lurie の [Lur09] もある。 最近, Douglasと Francisと Henriques と Hill の本 [Dou+14] が出たので, 今なら, まずはそれを読むのがよいと思う。Talbot workshop が元になったもののようである。

その Introduction に brief history があるので, それを読むとどのように \(\mathrm {tmf}\) が発見 (構成) されてきたがが分かる。

\(\mathrm {tmf}\) の構成については, Behrens のホームページから手に入る “Notes on the construction of \(\mathrm {tmf}\)” がある。 上記の本にも, Behrens による “The construction of \(\mathrm {tmf}\)” が含まれているが。

  • Hokins-Miller theorem [Hop02] とその Lurie による改良 [Lur09]。つまり, elliptic curveの moduli stack の Deligne-Mumford compactification の derived version (commutative ring spectrumに値を持つstructure sheafを持つ stack) がある。
  • \(\mathrm {tmf}\) は derived Deligne-Mumford moduli stack の derived global section として得られる ring spectrum である。

Goerssの解説には, \(\mathrm {tmf}\) の応用として次の3つが挙げてある。

\(K\)-theory のような “bundle” を用いた構成があるとうれしいが, それは難しそうである。Ganter と Laures は, [GL] で Eisenstein vertex algebra という種類の lattice から作られる vertex algebra の bundle から Grothendieck group として構成される cohomology theory の係数環が \(\mathrm {TMF}(3)\) の係数環と同じであると言っているが, 同時に cohomology theory としては complex \(K\)-theory の係数を拡大したものでしかないことも述べている。 彼等は, Gorbounov, Malikov, Schechtman [GMS00] の vertex operator algebra の sheaf を topological modular forms の cocycle として用いることを提案しているが, どうなのだろう。

\(\mathrm {tmf}\)の構成を“topological automorphic form”に一般化することも考えら れている。BehrensとLawsonの[BL10]である。関連した論文と しては, Naumannのquasi-isogenyの 成す群がMorava stabilizer groupにdense に埋め込まれるAbelian varietyの構成[Nau08]がある。

  • topological automorphic forms



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