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\(v_2\)-periodicな cohomology を構成する試みには, 様々なアプローチがある。 今のところ, 「ホモトピー論的に正しい」のは, \(\mathrm {tmf}\)
(topological modular forms) と呼ばれる spectrum だろう。
\(\mathrm {tmf}\) の解説としては, Goerss の [Goe10] がある。 他には, 解説とは言えないが, Lurie の [Lur09] もある。 最近, Douglas
と Francis と Henriques と Hill の本 [Dou+14] が出たので, 今なら, まずはそれを読むのがよいと思う。Talbot
workshop が元になったもののようである。
その Introduction に brief history があるので, それを読むとどのように \(\mathrm {tmf}\) が発見 (構成) されてきたがが分かる。
\(\mathrm {tmf}\) の構成については, Behrens のホームページから手に入る “Notes on the construction of \(\mathrm {tmf}\)” がある。 上記の本にも,
Behrens による “The construction of \(\mathrm {tmf}\)” が含まれているが。
- Hokins-Miller theorem [Hop02] とその Lurie による改良 [Lur09]。つまり, elliptic
curveの moduli stack の Deligne-Mumford compactification の derived
version (commutative ring spectrumに値を持つstructure sheafを持つ stack) がある。
- \(\mathrm {tmf}\) は derived Deligne-Mumford moduli stack の derived global section として得られる
ring spectrum である。
係数環の計算については, Brunner と Rognes による [BR21] がある。
Goerssの解説には, \(\mathrm {tmf}\) の応用として次の3つが挙げてある。
\(K\)-theory のような “bundle” を用いた構成があるとうれしいが, それは難しそうである。Ganter と Laures は, [GL22]
で Eisenstein vertex algebra という種類の lattice から作られる vertex algebra の bundle から
Grothendieck group として構成される cohomology theory の係数環が \(\mathrm {TMF}(3)\) の係数環と同じであると言っているが, 同時に
cohomology theory としては complex \(K\)-theory の係数を拡大したものでしかないことも述べている。 彼等は,
Gorbounov, Malikov, Schechtman [GMS00] の vertex operator algebra の sheaf を
topological modular forms の cocycle として用いることを提案しているが, どうなのだろう。
\(\mathrm {tmf}\) の構成を “topological automorphic form” に一般化することも考えられている。Behrens と Lawson の
[BL10] である。関連した論文としては, Naumann の quasi-isogeny の成す群が Morava stabilizer group に
dense に埋め込まれる Abelian variety の 構成 [Nau08] がある。
- topological automorphic forms
Candelori と Salch の [CS] には, topological cusp forms が登場する。Canonical な \(E_{\infty }\)-ring
map \(\mathrm {tmf}\to \mathrm {ko}\) のホモトピーファイバーの \(4\)-connective cover として定義される。 そのアイデアは, Lennart Meier
によるもののようであるが。
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