Simplicial group とは, 群の圏での simplicial object のことである。 定義は単純であるが, 様々な用途がある。 まずは,
特異ホモロジーの定義でも登場する, simplicial Abelian group がある。
Simplicial group は, 常に fibrant であるというのは基本的な性質である。
Simplicial group は, 具体的なホモトピー論の問題にも色々応用がある。 例えば, Berrick と Cohen と Wong と
Wu の [Ber+06] など。 そこでは, crossed simplicial group も使われている。
James の reduced product による \(\Omega \Sigma X\) の構成には, simplicial version がある。Milnor の free
simplicial group construction である。 Adams の Student’s Guide [Ada72] に収録されている。
その構成は, Carlsson [Car84] や Wu [Wu98] により拡張されている。
それの simplicial rack や simplicial quandle に対する類似を, Lawson と Szymik [LS]
が考えている。
References
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[Ada72]
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John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London
Mathematical Society Lecture Note Series, No. 4. Cambridge
University Press, London-New York, 1972, pp. vi+300.
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[Ber+06]
-
A. J. Berrick,
F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and
homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326.
url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.
-
[Car84]
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Gunnar Carlsson. “A simplicial group construction
for balanced products”. In: Topology 23.1 (1984), pp. 85–89. url:
http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(84)90027-2.
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[LS]
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Tyler Lawson and Markus Szymik. The homotopy types of free racks
and quandles. arXiv: 2106.01299.
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[Wu98]
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Jie Wu. “On fibrewise simplicial monoids and Milnor-Carlsson’s
constructions”. In: Topology 37.5 (1998), pp. 1113–1134. url:
http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00059-1.
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