表現可能関手

代数的トポロジーに現われる重要な反変関手, 特異コホモロジー, \(K\)理論, 主\(G\)束の同型類の成す集合 \(P_G(X)\), は, 全てホモトピー集合として表すことができる。 \[ \begin {split} H^n(X;G) & = [X,K(G,n)] \\ K(X) & = [X,\mathrm {BU}\times \Z ] \\ P_G(X) & = [X,BG] \end {split} \]

このような状況を一般化したのが, 表現可能関手 (representable functor) という概念である。

上の例のような, Eilenberg-Mac Lane 空間による特異コホモロジーの表現や, principal \(G\)-bundle の同型類の \(BG\) へのホモトピー集合としての分類を一般化し, Ed. Brown [Bro62] は, CW複体の圏から集合 (アーベル群) の圏への反変関手が, ホモトピー集合として表現可能になる条件を求めた。

  • 連結なCW複体の圏から集合の圏への関手に対する Brownの表現定理 [Bro62; Bro65]
  • 連結な有限複体の圏から群の圏への関手に対するBrownの表現定理 [Ada71]

Brown の表現定理により, 一般コホモロジー\(\Omega \) スペクトラムによる表現が得られる。

一般コホモロジーは, stable homotopy category 上の関手だから, より一般に, triangulated category 上の contravariant functor を表現することを考えるのは自然な問題である。 それについては, Neeman の結果 [Nee92] がある。

  • triangulated category での Brown の表現定理の類似

Franke の [Fra01] や Krause の [Kra02] などで, 一般化が考えられている。 また Krause の [Kra07] にも解説がある。Brown 表現可能性が成り立たない例を, Casacuberta と Neeman [CN09] が考えている。Modoi と Stovicek [MŠ12] が, Abel群の chain complex の homotopy category でも成り立たないことを示している。 Modoi の [Mod15] では covariant functor の場合が考えられている。

Adams の version は, finite complex で考えているので, その category の中で表現する object を見付けるのは難しい。そこで triangulated category の compact object 上で定義された functor で適当な条件を満たしているものに対し, representable functor の表現になるか, という Adams versionの 表現定理の一般化が考えられる。 Beligiannis [Bel00] や Christensen, Keller, Neeman [CKN01] は derived category の場合を詳しく調べている。 その拡張を Muroと Raventós [MR16] が考えている。

一方, Brownの表現定理は, ホモトピー関手に関する性質だから, triangulated category ではなく, モデル圏上の関手に対する一般化が考えられていてしかるべきである。 実際, principal \(G\)-bundle の同型類の集合は, 安定ホモトピー圏上の関手ではない。 ところが, それについてはあまり文献が見当たらない。Heller の [Hel81] と Rosicky の [Ros05] ぐらいだろうか。未出版のものとしては, nLab から download できる Jardine の preprint がある。

  • モデル圏上の Brown関手とその表現可能性

Heller は, 基点を持たない (連結とは限らない) CW複体の圏の上の集合に値を持つ Brown 関手は, 一般には表現可能ではないことを示す反例を見つけている。 しかし, 一方で群に値を持てば表現可能であることも示している。また covariant functor に関する表現可能性についても考えている。

この, 連結性の必要性については, MathOverflow の質問にもなっている。そこでの反例の文献として挙げられているのは, Freyd と Heller の [FH93] である。この論文は, 上記の Heller の論文 [Hel81] より出版年は新しいが, 実際に書かれたのは古いようである。 実際, Heller の1981年の論文でも Dydak の論文 [Dyd77] と共に参照されている。興味深いのは, これらの論文で Richard Thompson の群が使われていることである。

値域が位相空間やsimplicial set などの関手については, その表現可能性を考えるときの条件として, homotopy pushout を homotopy pullback に写すということが考えられる。よって、 関手の微積分と関係が深い。Chorny の [Cho13] でそのような関手が考えられている。

他の圏での例としては, McGuirk と Park [MP] による Grigor\('\)yan らの quiver のホモトピー圏の場合がある。

Covariant functor の場合については, 例えば Modoi の [Mod15] の Introduction をみるとよい。

References

[Ada71]

J. F. Adams. “A variant of E. H. Brown’s representability theorem”. In: Topology 10 (1971), pp. 185–198. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(71)90003-6.

[Bel00]

Apostolos Beligiannis. “On the Freyd categories of an additive category”. In: Homology Homotopy Appl. 2 (2000), pp. 147–185. url: https://doi.org/10.4310/hha.2000.v2.n1.a11.

[Bro62]

Edgar H. Brown Jr. “Cohomology theories”. In: Ann. of Math. (2) 75 (1962). Correction in Ann. of Math., vol. 78 (1963), p. 201., pp. 467–484. url: https://doi.org/10.2307/1970209.

[Bro65]

Edgar H. Brown Jr. “Abstract homotopy theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 119 (1965), pp. 79–85. url: https://doi.org/10.2307/1994231.

[Cho13]

Boris Chorny. “Brown representability for space-valued functors”. In: Israel J. Math. 194.2 (2013), pp. 767–791. arXiv: 0707.0904. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0063-7.

[CKN01]

J. Daniel Christensen, Bernhard Keller, and Amnon Neeman. “Failure of Brown representability in derived categories”. In: Topology 40.6 (2001), pp. 1339–1361. arXiv: math/0001056. url: https://doi.org/10.1016/S0040-9383(00)00015-X.

[CN09]

Carles Casacuberta and Amnon Neeman. “Brown representability does not come for free”. In: Math. Res. Lett. 16.1 (2009), pp. 1–5. arXiv: 0807.1872. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2009.v16.n1.a1.

[Dyd77]

Jerzy Dydak. “A simple proof that pointed FANR-spaces are regular fundamental retracts of ANR’s”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25.1 (1977), pp. 55–62.

[FH93]

Peter Freyd and Alex Heller. “Splitting homotopy idempotents. II”. In: J. Pure Appl. Algebra 89.1-2 (1993), pp. 93–106. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90088-B.

[Fra01]

Jens Franke. “On the Brown representability theorem for triangulated categories”. In: Topology 40.4 (2001), pp. 667–680. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00034-8.

[Hel81]

Alex Heller. “On the representability of homotopy functors”. In: J. London Math. Soc. (2) 23.3 (1981), pp. 551–562. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s2-23.3.551.

[Kra02]

Henning Krause. “A Brown representability theorem via coherent functors”. In: Topology 41.4 (2002), pp. 853–861. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00010-6.

[Kra07]

Henning Krause. “Derived categories, resolutions, and Brown representability”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 101–139. arXiv: math / 0511047. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08405.

[Mod15]

George Ciprian Modoi. “Constructing cogenerators in triangulated categories and Brown representability”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.8 (2015), pp. 3214–3224. arXiv: 1402 . 7211. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.10.010.

[MP]

Zachary McGuirk and Byungdo Park. Brown representability for directed graphs. arXiv: 2003.07426.

[MR16]

Fernando Muro and Oriol Raventós. “Transfinite Adams representability”. In: Adv. Math. 292 (2016), pp. 111–180. arXiv: 1304.3599. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.01.009.

[MŠ12]

George Ciprian Modoi and Jan Šťovı́ček. “Brown representability often fails for homotopy categories of complexes”. In: J. K-Theory 9.1 (2012), pp. 151–160. arXiv: 1012 . 4109. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011010026jkt167.

[Nee92]

Amnon Neeman. “The Brown representability theorem and phantomless triangulated categories”. In: J. Algebra 151.1 (1992), pp. 118–155. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(92)90135-9.

[Ros05]

Jiřı́ Rosický. “Generalized Brown representability in homotopy categories”. In: Theory Appl. Categ. 14 (2005), no. 19, 451–479. arXiv: math/0506168.