ホモトピー群の変種

ホモトピー群の変種として, 最も古いものの一つに Peterson [Pet56] による mod \(p\) ホモトピー群がある。定義域を, 球面ではなく mod \(p\) Moore空間にしたものである。その性質は, Neisendorfer が [Nei80] で詳しく調べている。そして, その結果は, 有名な Cohen-Moore-Neisendorfer [CMN79b; CMN79a] の ホモトピー群のexponentの問題の仕事に使われた。

• Abel群 \(G\) を係数に持つホモトピー群
• mod \(p\) Hurewicz の定理
• mod \(p\) ホモトピー群における Samelson積

他にも球面を別の空間に変えて定義されたものとして, Hawaiian earring group がある。 球面の代わりに, 球面の可算個の wedge (Hawaiian earring) を用いたものであり, [KR06; KR10] で定義され使われている。

• Hawaiian earring group

Spanier は, 有名な本 [Spa81] の中で, 被覆を用いた 基本群の変種を定義しているが, その高次元版が Bahrendar, Kouhestani, Passandideh [BKP21] により導入されている。 Spanier の定義したものは Spanier group と呼ばれている。

• Spanier group
• higher dimensional Spanier group

Aceti と Brazas [AB] は, polyhedral approximation で検知できないホモトピー群の元を特徴付けるために, 高次 Spanier group を使っている。

Fox [Fox45; Fox48] は, 基本群の高次ホモトピー群への作用と Whitehead product を統一して扱うために, torus homotopy group というものを導入した。

• torus homotopy group

Blakers と Massey [BM51; BM52; BM53] は, ホモトピー群の切除同型について調べるために, triad のホモトピー群を定義した。より一般に \(n\)-ad のホモトピー群も定義している。

• homotopy groups of triads
• homotopy groups of \(n\)-ads

ホモトピー群は, 連続写像の集合を同値関係で割って定義されているが, 連続写像の集合には compact-open topology が入るから, その位相により, ホモトピー群を位相群として扱えないか, というアイデアもある。

• topological fundamental group と topological homotopy group

Mod \(p\) ホモトピー群に関係したものとして, \(v_1\)周期的ホモトピー群がある。

• \(v_1\)周期的ホモトピー群

\(v_1\)周期的ホモトピー群は, 有理ホモトピー群の次に考えるべきものである。 これは, ホモトピー群を高次周期性により分解して考える, という視点に基づいた分解であるが, ホモトピー群には, 他にも filtration を定義することができる。例えば, Guth が [Gut] で \(k\)-dilation を用いて定義しているものがある。

• Guth filtration

Guth [Gut13] によると, \(1\)-dilation と写像のhomotopy類の関係を最初に調べたのは Gromov [Gro78] であり, その後 \(k\)-dilation と homotopy の関係についての問題も [Gro96] で提示している。

Baues と Muro は secondary operation を考えるために, secondary homotopy群という概念を [BM08a] で定義した。それを用いて [BM08b] で secondary Whitehead product を定義している。他にも [BM08c] という研究も行なっている。

Simplicial set に対しては, その geometric realization を取ってできた空間のホモトピー群として定義したいところだが, 直接 simplicial な data から定義することもでき, その定義も重要である。

• simplicial set (Kan complex) のホモトピー群
• simplicial Abelian group のホモトピー群

有限 CW複体 \(L\) に対し \([L]\)-homotopy group というものも定義できる。Chigogidze [Chi02] により導入された。 [CK03] にも定義等がある。[Kar01] にその計算の試みがある。

• \([L]\)-homotopy group

Chigogidze と Karasev は, [CK03] で, \([L]\)-homotopy group の同型を誘導する写像を weak equivalence として, 位相空間の圏が モデル圏になることを示している。

Compact metrizable space に対しては, Steenrod homotopy group というものも定義できる。Melikhov の [Mel09] に Steenrod ホモトピー論についてまとめられている。

• Steenrod homotopy group

特異点を持つ多様体に対し, その特異点の情報も考慮に入れたものとして, intersection homotopy group がある。

• intersection homotopy group

特異点を持つ多様体は, stratified space として扱われることが多いが, Woolf の [Woo10] では, Whitney stratified space に対するホモトピー群に当るものとして, transversality を用いて transversal homotopy monoid というものが定義されている。

• transversal homotopy monoid

共に, stratified space に対して定義されるホモトピー群の類似であるが, それらの間の関係はどうなっているのだろう。

関数解析的な視点からは, DeJarnette, Hajlasz, Lukyanenko, Tyson の [Dej+14] で定義された, Lipschitz homotopy group や horizontal homotopy group がある。

• Lipschitz homotopy group
• horizontal homotopy group

多様体の間の写像の Sobolev 空間を調べるために導入された。Wenger と Young [WY14] が Heisenberg group の Lipschitz homotopy group を調べている。 Perry の [Per22] では, contact \(3\)-manifold の Lipschitz homotopy group が調べられている。

高次の圏, より正確には \(\infty \)-topos でもホモトピー群を考えることができる。 例えば, Lurie の本 [Lur09] の section 6.5.1 にある。 この nLab のページでは, そのようなものは categorical homotopy group と呼ばれている。他にも étale homotopy group の一般化であるものもあり, nLab のページでは geometric homotopy group と呼ばれている。

• categorical homotopy group
• geometric homotopy group

References

[AB]

John K. Aceti and Jeremy Brazas. Elements of higher homotopy groups undetectable by polyhedral approximation. arXiv: 2208.06645.

[BKP21]

Ali Akbar Bahredar, Nader Kouhestani, and Hadi Passandideh. “The \(n\)-dimensional Spanier group”. In: Filomat 35.9 (2021), pp. 3169–3182.

[BM08a]

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[BM08b]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “Smash products for secondary homotopy groups”. In: Appl. Categ. Structures 16.5 (2008), pp. 551–616. arXiv: math/0604031. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-007-9071-x.

[BM08c]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “The symmetric action on secondary homotopy groups”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 15.4 (2008), pp. 733–768. arXiv: math/0604030. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1225893951.

[BM51]

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[BM52]

A. L. Blakers and W. S. Massey. “The homotopy groups of a triad. II”. In: Ann. of Math. (2) 55 (1952), pp. 192–201. url: https://doi.org/10.2307/1969428.

[BM53]

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[CMN79b]

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