Persistent homology は, 任意の poset をパラメータとして定義できるが, 基本的なのは非負整数 \(\Z _{\ge 0}\) をパラメータとするものである。
そのような場合には, 体 \(k\) 上の persistent homology は多項式環 \(k[t]\) 上の graded module とみなすことができる。\(k[t]\) が PID
であることを使うと, 有限生成な場合は, cyclic module の直和に分解することが分かる。それぞれの cyclic module は,
パラメータの変化に伴って, ある元が生れてから死ぬまでを表していて, それを図に表わしたものを barcode という。Zomorodian と
Carlsson [ZC05; CZ09] により導入された。
Burghelea ら [BDb; BH] のように, barcode を実数値関数や \(S^1\) に値を持つ関数に対して使おうと考えている人もいる。もちろん \(S^1\)
に値を持つ場合は barcode だけでは不十分で, Burghelea らは Jordan cell という構造を考えている。
Persistent homology の情報を表す別の方法として, persistence diagram というものもある。 Barcode
を描くときには, 生成元の順序を決めないといけないが, persistence diagram ではその必要がない。 Edelsbrunner と
Harer の [EH10] で導入されたものだろうか。
Mileyko, Mukherjee, Harer らは [MMH11; Tur+] で persistence diagram
の空間上に Wasserstein distance という方法で距離を定義し, またその上の確率測度を調べている。 他には
bottleneck distance という距離もある。 このような距離を計算することにより, 得られた persistent diagram
から元のデータがどれぐらい近いかが判定できるといいが, 残念ながら, これらの距離は計算が大変である。Di Fabio とFerri の [FF] では,
このことに対し combinatorial explosion という表現が使われていて, d’Amico, Frosini, Landi の論文
[dFL06] が参照されている。
- bottleneck distance
- Wasserstein distance
他には, persistent diagram にしないで, persistence module のままで interleaving distance
で測るという方法もある。
Bubenik と de Silva [BSS] によると, interleaving distance は, persistent homology
に留まらず, symplectic geometry, contact geometry, sheaf theory, computational
geometry, phylogenetics などで使われるようになっているらしい。
de Silva と Munch と Stefanou [SMS] は, poset \([0,\infty )\) を和により monoidal category
と考えたものの作用する category を category with flow と呼び, persistence module の一般化と考え,
interleaving distance の一般化を定義している。
また, Fabio と Ferri によると, Landi による persistence diagram を代数方程式の複素数解として表す方法もある。そのようにすれば,
persistent diagram の比較は, それを解として表す多項式の係数の比較に帰着される。 他には tropical geometry
の視点からの多項式としての表示 [VCa] もある。
Bubenik [Bub15] は, 新しいpersistent homology の表示方法として, persistence landscape
というものを導入した。その目的は, Mileyko らと同じく, Fréchet mean や Fréchet variance
を考えることだったようである。
その計算機での扱いについては, Bubenik と Dlotko の [BDa] がある。
Vongmasa と Carlsson [VCb] は, 新たに exterior critical series というものを導入している。
Barcode と同様, \(1\)次元の persistence module に対しては完全な記述を与える。 重要なことは, exterior critical
series は multidimensional persistence へも一般化できるということのようである。
別の方向から, lattice theory を使うというアイデアも登場した。Costa と Skraba の [SC] である。
Machine learning と computational topology の道具を合せて使うことを目的として考えられた,
persistence image というもの [Ada+17] もある。
References
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[Ada+17]
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[BDa]
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[BDb]
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[BSS]
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Gromov-Hausdorff distance. arXiv: 1707.06288.
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[Bub15]
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url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-009-9176-0.
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Herbert Edelsbrunner and John L. Harer. Computational topology.
An introduction. Providence, RI: American Mathematical Society,
2010, pp. xii+241. isbn: 978-0-8218-4925-5.
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[FF]
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Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee,
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https://doi.org/10.1088/0266-5611/27/12/124007.
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[SC]
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Primoz Skraba and João Pita Costa. A Lattice for Persistence.
arXiv: 1307.4192.
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[SMS]
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Vin de Silva, Elizabeth Munch, and Anastasios Stefanou. Theory of
interleavings on categories with a flow. arXiv: 1706.04095.
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[Tur+]
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Katharine Turner, Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John
Harer. Fréchet Means for Distributions of Persistence diagrams.
arXiv: 1206.2790.
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[VCa]
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Sara Kalisnik Verovsek and Gunnar Carlsson. Symmetric and
r-Symmetric Tropical Polynomials and Rational Functions. arXiv:
1405.2268.
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[VCb]
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Pawin Vongmasa and Gunnar Carlsson. Exterior Critical Series of
Persistence Modules. arXiv: 1305.4780.
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[ZC05]
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Afra Zomorodian and Gunnar Carlsson. “Computing persistent
homology”. In: Discrete Comput. Geom. 33.2 (2005), pp. 249–274.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-004-1146-y.
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