Persistent homology の表示方法

Persistent homology は, 任意の poset をパラメータとして定義できるが, 基本的なのは非負整数 \(\Z _{\ge 0}\) をパラメータとするものである。 そのような場合には, 体 \(k\) 上の persistent homology は多項式環 \(k[t]\) 上の graded module とみなすことができる。\(k[t]\) が PID であることを使うと, 有限生成な場合は, cyclic module の直和に分解することが分かる。それぞれの cyclic module は, パラメータの変化に伴って, ある元が生れてから死ぬまでを表していて, それを図に表わしたものを barcode という。Zomorodian と Carlsson [ZC05; CZ09] により導入された。

• barcode

Burghelea ら [BDb; BH] のように, barcode を実数値関数や \(S^1\) に値を持つ関数に対して使おうと考えている人もいる。もちろん \(S^1\) に値を持つ場合は barcode だけでは不十分で, Burghelea らは Jordan cell という構造を考えている。

Persistent homology の情報を表す別の方法として, persistence diagram というものもある。 Barcode を描くときには, 生成元の順序を決めないといけないが, persistence diagram ではその必要がない。 Edelsbrunner と Harer の [EH10] で導入されたものだろうか。

• persistence diagram

Mileyko, Mukherjee, Harer らは [MMH11; Tur+] で persistence diagram の空間上に Wasserstein distance という方法で距離を定義し, またその上の確率測度を調べている。 他には bottleneck distance という距離もある。 このような距離を計算することにより, 得られた persistent diagram から元のデータがどれぐらい近いかが判定できるといいが, 残念ながら, これらの距離は計算が大変である。Di Fabio とFerri の [FF] では, このことに対し combinatorial explosion という表現が使われていて, d’Amico, Frosini, Landi の論文 [dFL06] が参照されている。

• bottleneck distance
• Wasserstein distance

他には, persistent diagram にしないで, persistence module のままで interleaving distance で測るという方法もある。

• interleaving distance

Bubenik と de Silva [BSS] によると, interleaving distance は, persistent homology に留まらず, symplectic geometry, contact geometry, sheaf theory, computational geometry, phylogenetics などで使われるようになっているらしい。

de Silva と Munch と Stefanou [SMS] は, poset \([0,\infty )\) を和により monoidal category と考えたものの作用する category を category with flow と呼び, persistence module の一般化と考え, interleaving distance の一般化を定義している。

また, Fabio と Ferri によると, Landi による persistence diagram を代数方程式の複素数解として表す方法もある。そのようにすれば, persistent diagram の比較は, それを解として表す多項式の係数の比較に帰着される。 他には tropical geometry の視点からの多項式としての表示 [VCa] もある。

Bubenik [Bub15] は, 新しいpersistent homology の表示方法として, persistence landscape というものを導入した。その目的は, Mileyko らと同じく, Fréchet mean や Fréchet variance を考えることだったようである。

• persistence landscape

その計算機での扱いについては, Bubenik と Dlotko の [BDa] がある。

Vongmasa と Carlsson [VCb] は, 新たに exterior critical series というものを導入している。

• exterior critical series

Barcode と同様, \(1\)次元の persistence module に対しては完全な記述を与える。 重要なことは, exterior critical series は multidimensional persistence へも一般化できるということのようである。

別の方向から, lattice theory を使うというアイデアも登場した。Costa と Skraba の [SC] である。

Machine learning と computational topology の道具を合せて使うことを目的として考えられた, persistence image というもの [Ada+17] もある。

• persistence image

References

[Ada+17]

Henry Adams et al. “Persistence images: a stable vector representation of persistent homology”. In: J. Mach. Learn. Res. 18 (2017), Paper No. 8, 35. arXiv: 1507.06217.

[BDa]

Peter Bubenik and Pawel Dlotko. A persistence landscapes toolbox for topological statistics. arXiv: 1501.00179.

[BDb]

Dan Burghelea and Tamal K. Dey. Persistence for Circle Valued Maps. arXiv: 1104.5646.

[BH]

Dan Burghelea and Stefan Haller. Graph Representations and Topology of Real and Angle Valued Maps. arXiv: 1202.1208.

[BSS]

Peter Bubenik, Vin de Silva, and Jonathan Scott. Interleaving and Gromov-Hausdorff distance. arXiv: 1707.06288.

[Bub15]

Peter Bubenik. “Statistical topological data analysis using persistence landscapes”. In: J. Mach. Learn. Res. 16 (2015), pp. 77–102. arXiv: 1207.6437.

[CZ09]

Gunnar Carlsson and Afra Zomorodian. “The theory of multidimensional persistence”. In: Discrete Comput. Geom. 42.1 (2009), pp. 71–93. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-009-9176-0.

[dFL06]

Michele d’Amico, Patrizio Frosini, and Claudia Landi. “Using matching distance in size theory: A survey”. In: International Journal of Imaging Systems and Technology 16.5 (2006), pp. 154–161.

[EH10]

Herbert Edelsbrunner and John L. Harer. Computational topology. An introduction. Providence, RI: American Mathematical Society, 2010, pp. xii+241. isbn: 978-0-8218-4925-5.

[FF]

Barbara Di Fabio and Massimo Ferri. Comparing persistence diagrams through complex vectors. arXiv: 1505.01335.

[MMH11]

Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John Harer. “Probability measures on the space of persistence diagrams”. In: Inverse Problems 27.12 (2011), pp. 124007, 22. url: https://doi.org/10.1088/0266-5611/27/12/124007.

[SC]

Primoz Skraba and João Pita Costa. A Lattice for Persistence. arXiv: 1307.4192.

[SMS]

Vin de Silva, Elizabeth Munch, and Anastasios Stefanou. Theory of interleavings on categories with a flow. arXiv: 1706.04095.

[Tur+]

Katharine Turner, Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John Harer. Fréchet Means for Distributions of Persistence diagrams. arXiv: 1206.2790.

[VCa]

Sara Kalisnik Verovsek and Gunnar Carlsson. Symmetric and r-Symmetric Tropical Polynomials and Rational Functions. arXiv: 1405.2268.

[VCb]

Pawin Vongmasa and Gunnar Carlsson. Exterior Critical Series of Persistence Modules. arXiv: 1305.4780.

[ZC05]

Afra Zomorodian and Gunnar Carlsson. “Computing persistent homology”. In: Discrete Comput. Geom. 33.2 (2005), pp. 249–274. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-004-1146-y.