Parking Function

Petrullo と Senato [PS08] や Gorsky ら [GG] によると, parking function は 1960年代に Konheim と Weiss [KW66] により導入されたものらしい。 その論文の最後の section に, a parking problem として, 気まぐれな奥さんを乗せた車の縦列駐車問題への応用が書かれているので, それがこの parking function という名前の由来のようである。 定義は, 例えば Postnikov と Shapiro の [PS04] などにある。 縦列駐車との関係は, Beck らの [Bec+] の §1.1 の説明が分かりやすい。

古典的には parking function は, ラベル付けられた有限集合を頂点に持つ tree の数, つまり完全グラフの spanning tree の数を数えるものである。 これは Kreweras [Kre80] の結果のようである。 完全グラフを一般のグラフquiver \(G\) にした \(G\)-parking function も定義されている。

  • \(G\)-parking function

そしてそれらについても spanning tree の個数を数えるものであることが, Gabrielov [Gab93] により示されている。

Parking function は様々なものに関係があり, 興味深い。Benson とTetali の [BCT] や Gorsky らの [GG] によると, 以下のものに関係がある。

Sandpile model については, AMS の Notices に Levine と Propp の解説 [LP10] がある。 グラフの不変量として, sandpile group という Abel群も定義される。

他にも, 対称群の表現との関係が重要のようである。 Haiman は, [Hai98; Hai02] で parking function や Catalan number やその一般化categorification とも言うべき対称群の表現を構成している。

  • Haiman の parking function module

Parking function の集合に braid群 が作用することも知られている。Gorsky と Gorsky [GG] が complex hypersurface singularity との関連で発見した。

このように, 古典的な parking function は \(A\)型の root系に深く関係している。 それをより一般の Coxeter system に拡張しようとしたものとして, Armstrong と Reiner と Rhoades の [ARR15] がある。

代数的な構造としては, combinatorial Hopf algebra を作ることもできる。 Novelli と Thibon の [NT; NT07] である。

Shi arrangement との関係を拡張したものとして, グラフ \(G\) から \(G\)-parking function と関係のある hyperplane arrangement を作っている, HopkinsとPerkinsonの結果 [HP16] などがある。



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