λ-Operations on Algebraic K-Theory

Grothendieck group 上に exterior power を用いて作用素を構成することは Grothendieck [Gro58] が考えたことであるが, 当然様々な \(K\)-theory に拡張することが考えられている。

• \(\lambda \)-ring

もちろん algebraic \(K\)-theory への拡張も多くの人により古くから行なわれている。 これまで知られている構成については, Köck と Zanchetta の [KZ] の Introduction を見るのがよい。 それを引用すると以下のようになる。

• Hiller の構成 [Hil81].
• Kratzer の構成 [Kra80].
• Soulé の構成 [Sou85] とその Gillet と Soulé による一般化 [GS99].
• Grayson の構成 [Gra89].
• Nenashev の構成 [Nen91].
• Levine の構成 [Lev97].
• Riou の構成 [Rio10].
• Harris, Köck, Taelman [HKT17] の Grayson による higher algebraic \(K\)-theory の生成元と関係式による記述を用いたもの
• Zanchetta の構成 [Zan21].
• Barwick, Glasman, Mathew, Nikolaus の構成 [Bar+].

Köck と Zanchetta [KZ] は, これらが一致することを証明している。

この中で, Hiller のものは, 実質的には Quillen によるもののようである。 論文の最後で, section 6 から 8 は自分の Ph.D. thesis の内容で, それ以外, つまり section 1 から 5 は Quillen の仕事の解説である, と書いている。

Hiller は, Adams operation を用いて \(\F _{p}\) 上の perfect algebra の algebraic \(K\)-theory が \(\Z [\frac {1}{p}]\)-module であることを示している。

他にも, Feliu [Fel10] による rational algebraic \(K\)-theory の McCarthy による chain model [McC97] の上の Adams operation を誘導する写像の構成などもある。

References

[Bar+]

Clark Barwick, Saul Glasman, Akhil Mathew, and Thomas Nikolaus. \(K\)-theory and polynomial functors. arXiv: 2102.00936.

[Fel10]

Elisenda Feliu. “A chain morphism for Adams operations on rational algebraic \(K\)-theory”. In: J. K-Theory 5.2 (2010), pp. 349–402. arXiv: 0808.3882. url: https://doi.org/10.1017/is009010016jkt085.

[Gra89]

Daniel R. Grayson. “Exterior power operations on higher \(K\)-theory”. In: \(K\)-Theory 3.3 (1989), pp. 247–260. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00533371.

[Gro58]

Alexander Grothendieck. “La théorie des classes de Chern”. In: Bull. Soc. Math. France 86 (1958), pp. 137–154.

[GS99]

H. Gillet and C. Soulé. “Filtrations on higher algebraic \(K\)-theory”. In: Algebraic \(K\)-theory (Seattle, WA, 1997). Vol. 67. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 89–148.

[Hil81]

Howard L. Hiller. “\(\lambda \)-rings and algebraic \(K\)-theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 20.3 (1981), pp. 241–266. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(81)90062-1.

[HKT17]

Tom Harris, Bernhard Köck, and Lenny Taelman. “Exterior power operations on higher \(K\)-groups via binary complexes”. In: Ann. K-Theory 2.3 (2017), pp. 409–449. arXiv: 1607 . 01685. url: https://doi.org/10.2140/akt.2017.2.409.

[Kra80]

Ch. Kratzer. “\(\lambda \)-structure en \(K\)-théorie algébrique”. In: Comment. Math. Helv. 55.2 (1980), pp. 233–254. url: https://doi.org/10.1007/BF02566684.

[KZ]

Bernhard Köck and Ferdinando Zanchetta. Comparison of Exterior Power Operations on Higher \(K\)-Theory of Schemes. arXiv: 2110. 06599.

[Lev97]

Marc Levine. “Lambda-operations, \(K\)-theory and motivic cohomology”. In: Algebraic \(K\)-theory (Toronto, ON, 1996). Vol. 16. Fields Inst. Commun. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 131–184.

[McC97]

Randy McCarthy. “A chain complex for the spectrum homology of the algebraic \(K\)-theory of an exact category”. In: Algebraic \(K\)-theory (Toronto, ON, 1996). Vol. 16. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997, pp. 199–220.

[Nen91]

A. Nenashev. “Simplicial definition of \(\lambda \)-operations in higher \(K\)-theory”. In: Algebraic \(K\)-theory. Vol. 4. Adv. Soviet Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, pp. 9–20.

[Rio10]

Joël Riou. “Algebraic \(K\)-theory, \(\mathbf {A}^1\)-homotopy and Riemann-Roch theorems”. In: J. Topol. 3.2 (2010), pp. 229–264. arXiv: 0907.2710. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtq005.

[Sou85]

Christophe Soulé. “Opérations en \(K\)-théorie algébrique”. In: Canad. J. Math. 37.3 (1985), pp. 488–550. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1985-029-x.

[Zan21]

Ferdinando Zanchetta. “Unstable operations on \(K\)-theory for singular schemes”. In: Adv. Math. 384 (2021), Paper No. 107716, 58. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107716.