Generalizations and Refinements of Triangulated Categories

Triangulated category の精密化として, ホモトピー論の視点からは, まずホモトピー圏を取る前のものを考えたい。

Bondal と Kapranov [BK90] は, dg category を用いて enhanced triangulated category の概念を考えたが, ホモトピー論的には, stable model category や stable \(\infty \)-category を用いるべきだろう。

この stable という形容詞が付いていることから分かるように, ホモトピー論的視点からは, triangulated category は, stabilize した後の構造を表している。ここでいう stabilize とは suspension が同型になるようにした, という意味である。

ということは, triangulated category の unstable 版として, suspension が同型にならないものを考えることも, 不自然ではない。 実際, Beligiannis と Marmaridis [BM94] により, そのようなものが定義されている。

  • left triangulated category
  • right triangulated category

Li が [Li15; Lia; Lib] で色々調べている。 Tattar [Tat] は extriangualted category との関係を調べている。

この extriangulated category というのは, Nakaoka と Palu [NP19] により導入された exact categorytriangulated category の共通の一般化である。

  • extriangulated category

別の方向への一般化としては, Geiss, Keller, Oppermann [GKO13] による \(n\)-angulated category というものがある。

  • \(n\)-angulated category

Bergh と Thaule [BT14] が Grothendieck group を定義している。 彼等は, [BT13]で \(n\)-angulated categoryの公理を見直し, octahedral axiom の高次版を導入している。

Herschend, Liu, Nakaoka [HLN] は, extriangualted category の高次版として \(n\)-exangulated category の概念を導入している。

  • \(n\)-exangulated category

位相空間の圏での internal category の構造を持つ triangulated category を考えているのは, Igusa と Todorov [IT] である。このような構造が自然に現われるのは興味深い。

References

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[BM94]

Apostolos Beligiannis and Nikolaos Marmaridis. “Left triangulated categories arising from contravariantly finite subcategories”. In: Comm. Algebra 22.12 (1994), pp. 5021–5036. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879408825119.

[BT13]

Petter Andreas Bergh and Marius Thaule. “The axioms for \(n\)-angulated categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.4 (2013), pp. 2405–2428. arXiv: 1112.2533. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2013.13.2405.

[BT14]

Petter Andreas Bergh and Marius Thaule. “The Grothendieck group of an \(n\)-angulated category”. In: J. Pure Appl. Algebra 218.2 (2014), pp. 354–366. arXiv: 1205 . 5697. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2013.06.007.

[GKO13]

Christof Geiss, Bernhard Keller, and Steffen Oppermann. “\(n\)-angulated categories”. In: J. Reine Angew. Math. 675 (2013), pp. 101–120. arXiv: 1006.4592.

[HLN]

Martin Herschend, Yu Liu, and Hiroyuki Nakaoka. \(n\)-exangulated categories. arXiv: 1709.06689.

[IT]

Kiyoshi Igusa and Gordana Todorov. Continuous Frobenius categories. arXiv: 1209.0038.

[Lia]

Zhi-Wei Li. Priles of one-sided triangulated categories and exact model categories. arXiv: 1409.0200.

[Lib]

Zhi-Wei Li. The triangulation of the subfactor categories of additive categories with suspensions. arXiv: 1510.02258.

[Li15]

Zhi-Wei Li. “The left and right triangulated structures of stable categories”. In: Comm. Algebra 43.9 (2015), pp. 3725–3753. arXiv: 1309.1364. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2014.923896.

[NP19]

Hiroyuki Nakaoka and Yann Palu. “Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 60.2 (2019), pp. 117–193. arXiv: 1605.05607.

[Tat]

Aran Tattar. Right triangulated categories: As extriangulated categories, aisles and co-aisles. arXiv: 2106.09107.