Framed Disks Operad

Little \(n\)-cube の成す operad は 標準的な立方体 \([0,1]^{n}\) の中の小さな立方体の成す空間から構成されているが, 同相 \([0,1]^{n}\cong D^{n}\) があるので, \(D^{n}\) の中の小さなディスクの成す空間を考えても, 同値な operad を作ることができる。

ただ, \([0,1]^{n}\) と \(D^{n}\) には大きな違いがある。その対称性である。 \(D^{n}\) では, 回転, つまり \(\mathrm {SO}(n)\) の作用を考えることができる。 それを考慮に入れたのが, Getzler により [Get94] で導入された framed disks operad である。

同一視 \[ \Omega ^nX =\set {\ell :D^n\to X}{\ell (\partial D^n)=x_0} \] により \(\mathrm {SO}(n)\) も \(\Omega ^nX\) に作用するので, recognition principle の equivariant 版を考えたくなるが, それについては, [SW03] で equivariant recognition principle が成り立つことが示されている。

関連した operad として, Voronov の cacti operad がある。 Framed \(2\)-disks operad と同値になる。それについては, Hepworth の [Hep13] を見るとよい。

• cacti operad

Framed \(2\)-disks operad の変種としては, Vaintrob による framed formal curves operad [Vaib; Vaia] がある。 Kato の log geometry を用いている。

References

[Get94]

E. Getzler. “Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories”. In: Comm. Math. Phys. 159.2 (1994), pp. 265–285. arXiv: hep-th/9212043. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104254599.

[Hep13]

Richard Hepworth. “Groups, cacti and framed little discs”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 365.5 (2013), pp. 2597–2636. arXiv: 1009.3260. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05734-5.

[SW03]

Paolo Salvatore and Nathalie Wahl. “Framed discs operads and Batalin-Vilkovisky algebras”. In: Q. J. Math. 54.2 (2003), pp. 213–231. arXiv: math/0106242. url: http://dx.doi.org/10.1093/qjmath/54.2.213.

[Vaia]

Dmitry Vaintrob. Formality of little disks and algebraic geometry. arXiv: 2103.15054.

[Vaib]

Dmitry Vaintrob. Moduli of framed formal curves. arXiv: 1910.11550.