ファイブレーション

ファイバー束の持つ重要な性質の多くは, 一つの性質, 被覆ホモトピー性質, から証明されてしまう。この性質を取り出すことにより ファイバー束の一般化を考えるのは自然である。 そのような試みとして, Hurewicz fibration [Hur55] とSerre fibration [Ser51] をまず知っておくべきだろう。

ファイバー束のような分類の理論を構築しようとすると, principal bundle の 類似を考えたくなる。

ホモトピー群を考えるときには, quasifibration の概念が便利である。また, 具体的な構成を行なうと, fibration にはならずに quasifibration にしかならないことも多い。例えば, small categoryの分類空間 (Quillen の Theorem B) や 多重ループ空間の理論などで登場する。

Gromov [Gro86] により導入された microfibration という概念もあ る。

  • microfibration

Weiss の [Wei05] や, Galatius と Randal-Willams の仕事 [GR] などで登場する。 Gromov の h-principle を調べた Kupersの [Kup] でも, 当然, 使われている。

位相空間 (やsimplicial set) の圏以外で fibration を考えるときには, やはりモデル圏やその一般化を用いるのがよいだろう。

References

[GR]

Soren Galatius and Oscar Randal-Williams. Homological stability for moduli spaces of high dimensional manifolds. I. arXiv: 1403.2334.

[Gro86]

Mikhael Gromov. Partial differential relations. Vol. 9. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. x+363. isbn: 3-540-12177-3.

[Hur55]

Witold Hurewicz. “On the concept of fiber space”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 41 (1955), pp. 956–961.

[Kup]

Alexander Kupers. Three applications of delooping to H-principles. arXiv: 1701.06788.

[Ser51]

Jean-Pierre Serre. “Homologie singulière des espaces fibrés. Applications”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 425–505. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969485.

[Wei05]

Michael Weiss. “What does the classifying space of a category classify?” In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 185–195. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839512.