ファイブレーションに関連した話題

代数的トポロジーにおける古典的なテクニックでは, fibration に関する (co)homology の計算に帰着されるものが多い。 そのため, そのような (co)homology の計算テクニックを知っているとよい。 具体的には, 各種スペクトル系列や, 特別な場合にそれらからできる完全列である。

• Serre spectral sequence
• バー構成による Eilenberg-Moore spectral sequence
• コバー構成による Eilenberg-Moore spectral sequence

Ed Brown による chain level での fibration の total space のモデル [Bro59] も重要である。

• twisted tensor product

具体的な fibration で, ホモトピー群の研究で特に重要なのは, EHP列である。ただし, EHP列の構成には, reduced product など, いくつかの道具を準備する必要がある。

より一般に, \(B\) を fix して写像 \(X \to B\) を “\(B\) 上” の空間として考えることもある。これを fiberwise topology とか parametrized homotopy theory などという。

• fiberwise topology

References

[Bro59]

Edgar H. Brown Jr. “Twisted tensor products. I”. In: Ann. of Math. (2) 69 (1959), pp. 223–246. url: https://doi.org/10.2307/1970101.