Etale Fundamental Group

Étale homotopy type について, よく調べられているのは基本群, つまり étale fundamental group である。 もっとも, Artin-Mazur の pro-simplicial set の文脈ではなく, Galois category の理論を用いて定義されるものであるが。

Szamuely の本 [Sza09], Murre の lecture note [Mur67], Morishita の本 [Mor12] などがある。

誰でも思うのとは, 位相空間の基本群の性質がどの程度成り立つか, ということだと思うが, 例えば, Misamore [Mis11] によると étale fundamental group の van Kampen theorem については, Stix の [Sti06] や Zoonekynd の [Zoo02] があるようである。Misamore 自身の結果はそれらの改良版になっているようである。

コンパクト Kähler 多様体の場合に, Higgs bundle と局所系の対応を用いて基本群に Hodge structure を定義しているのは, C. Simpson [Sim92] であるが, それを pro-algebraic homotopy type に一般化しているのは Pridham の [Pri] である。

Projective variety の基本群としてどのような群が実現できるか, という問題については, Arapura の [Ara95] にまとめられている。 Étale fundamental group として実現できない群の例として, Pridham の [Pri09] にあるものがある。

逆に, 位相空間に対し étale fundamental group の定義を真似して profinite group を定義することもできる。 Kucharczyk と Scholze の [KS18] で調べられている。

Corry [Cor12] は, グラフの étale fundamental group を考えている。

  • グラフの étale fundamental group

References

[Ara95]

Donu Arapura. “Fundamental groups of smooth projective varieties”. In: Current topics in complex algebraic geometry (Berkeley, CA, 1992/93). Vol. 28. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995, pp. 1–16.

[Cor12]

Scott Corry. “Harmonic Galois theory for finite graphs”. In: Galois-Teichmüller theory and arithmetic geometry. Vol. 63. Adv. Stud. Pure Math. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012, pp. 121–140. arXiv: 1103.1648. url: https://doi.org/10.2969/aspm/06310121.

[KS18]

Robert A. Kucharczyk and Peter Scholze. “Topological realisations of absolute Galois groups”. In: Cohomology of arithmetic groups. Vol. 245. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, 2018, pp. 201–288. arXiv: 1609.04717. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-95549-0_8.

[Mis11]

Michael D. Misamore. “Nonabelian \(H^{1}\) and the étale van Kampen theorem”. In: Canad. J. Math. 63.6 (2011), pp. 1388–1415. arXiv: 1002.3530. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-2011-030-x.

[Mor12]

Masanori Morishita. Knots and primes. Universitext. An introduction to arithmetic topology. London: Springer, 2012, pp. xii+191. isbn: 978-1-4471-2157-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4471-2158-9.

[Mur67]

J. P. Murre. Lectures on an introduction to Grothendieck’s theory of the fundamental group. Notes by S. Anantharaman, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No 40. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, 1967, pp. iv+176+iv.

[Pri]

J. P. Pridham. Non-abelian real Hodge theory for proper varieties. arXiv: math/0611686.

[Pri09]

J. P. Pridham. “Weight decompositions on étale fundamental groups”. In: Amer. J. Math. 131.3 (2009), pp. 869–891. arXiv: math/ 0510245. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.0.0055.

[Sim92]

Carlos T. Simpson. “Higgs bundles and local systems”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 75 (1992), pp. 5–95. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__5_0.

[Sti06]

Jakob Stix. “A general Seifert-Van Kampen theorem for algebraic fundamental groups”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42.3 (2006), pp. 763–786. url: http://projecteuclid.org/euclid.prims/1166642159.

[Sza09]

Tamás Szamuely. Galois groups and fundamental groups. Vol. 117. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2009, pp. x+270. isbn: 978-0-521-88850-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511627064.

[Zoo02]

Vincent Zoonekynd. “Théorème de van Kampen pour les champs algébriques”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 9.1 (2002), pp. 101–145. arXiv: math/0111073. url: http://www.numdam.org/item?id=AMBP_2002__9_1_101_0.