各種compact性

位相空間のコンパクト性の概念の一般化や変種は, 様々なものが考えられている。よく目にするのは次の三つだろう。

  • コンパクト (compact)
  • 局所コンパクト (locally compact)
  • パラコンパクト (paracompact)

局所コンパクト空間について詳しく調べたものとして, Taylor の [Tay] がある。もちろん, たいていの位相空間論の教科書には基本的なことは書いてある。

基本的な性質としては以下のものが挙げられる。

  • コンパクト空間の連続写像による像はコンパクト。
  • 局所コンパクト空間の閉部分空間は局所コンパクト。
  • 局所コンパクト Hausdorff 空間の開部分空間は局所コンパクト。
  • より正確には, 局所コンパクト Hausdorff空間の部分空間 \(A\) が局所コンパクトであるための必要十分条件は, 開集合 \(U\) と閉集合 \(F\) により, \(A=U\cap F\) と表わされること。
  • コンパクト空間の任意個の直積はコンパクト。

4番目の, 局所コンパクト Hausdorff空間の中の局所コンパクト部分空間の特徴付けは, 例えば Dugundi の本 [Dug78] の Chapter XI section 6 に書いてある。

パラコンパクトや局所コンパクトの条件と Hausdorff を組み合わせると, 可縮な空間による numerable な被覆を持つという, 良い性質を持った空間になる。 これらは, ファイバー束の理論などでも重要である。 Dold の [Dol63] を参照のこと。Schwamberger と Vogt [SV] は, そのような空間の一般的な性質を調べている。

  • コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像は, 閉写像である。 よってコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は, 同相写像である。
  • Urysohn の補題
  • \(1\)の分割 (partition of unity) の定義。
  • パラコンパクトHausdorff空間は任意の開被覆に従属する\(1\)の分割を持つ。
  • パラコンパクトHausdorff空間は正規 (normal) である。
  • 局所コンパクトHausdorff空間は正則 (regular) である。
  • 局所コンパクトHausdorff空間の一点コンパクト化は Hausdorff である。

コンパクト化には, 局所コンパクト空間の一点コンパクト化以外にも様々な方法がある。

  • Stone-Čech compactification
  • Higson compactification

References

[Dol63]

Albrecht Dold. “Partitions of unity in the theory of fibrations”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 223–255.

[Dug78]

James Dugundji. Topology. Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., 1978, p. xv 447. isbn: 0-205-00271-4.

[SV]

E. Schwamberger and R. Vogt. Numerably Contractible Spaces. arXiv: 0810.5481.

[Tay]

Paul Taylor. Computably Based Locally Compact Spaces. arXiv: math/0512110.