Bisimplicial Objects

Simplicial set の category の simplicial object を bisimplicial set という。Simplicial set の直積を考えるときには当然考えないといけないものである。また, double category の nerve を考えるときにも必要になる。基本的なことは, 例えば Bousfield と Friedlander の [BF78] の Appendix B にまとめられている。

2重の simplicial structure を持つので, geometric realization を2回とることで, CW complex にすることができる。あるいは, diagonal をとり, simplicial set にするという手もある。更に, Artin と Mazur [AM66] の §III で定義されている totalization という操作で simplicial set にするという手もある。Artin と Mazur が言っているように, \(d(X)\) と \(T(X)\) はより一般の bisimplicial object に対しても適用できる操作である。

  • bisimplicial set \(X\) の diagonal \(d(X)\)
  • Artin-Mazur の totalization \(T(X)\)

Diagonal の geometric realization \(|d(X)|\) と \(X\) の bisimplicial set としての geometric realization は weak equivalent である。これについては Fiedorowicz と Loday [FL91] は, Quillen の [Qui73] を参照している。

Stevenson [Ste12] によると, Artin-Mazur の totalization \(T(X)\) と diagonal \(d(X)\) が weak equivalent であることは, Cegarra と Remedios によりつい最証明された [CR05] ことのようである。 Joyal と Tierney の執筆中の本にも独立の証明があるらしい。Stevenson 自身, より elementary な証明を発見している。



M. Artin and B. Mazur. “On the van Kampen theorem”. In: Topology 5 (1966), pp. 179–189. url:


A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.


A. M. Cegarra and Josué Remedios. “The relationship between the diagonal and the bar constructions on a bisimplicial set”. In: Topology Appl. 153.1 (2005), pp. 21–51. url:


Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. “Crossed simplicial groups and their associated homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 326.1 (1991), pp. 57–87. url:


Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341.


Danny Stevenson. “Décalage and Kan’s simplicial loop group functor”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 28, 768–787. arXiv: 1112.0474.