Seifert-van Kampen Theorem

Seifert-van Kampen の定理は, 空間の和集合への分割と基本群の関係を述べたものである。 Seifert-van Kampen の定理を述べるためには, 群の融合積の概念が必要になる。

様々な一般化が知られているが, 最も基本的なのは, 適当な条件の下で \[ \pi _{1}(X\cup Y) \cong \pi _{1}(X)\ast _{\pi _{1}(X\cap Y)} \pi _{1}(Y) \] という同型が成り立つ, というものである。これは, 基本群が, 位相空間の pushout diagram \[ \xymatrix { X\cap Y \ar [r] \ar [d] & X \ar [d] \\ Y \ar [r] & X\cup Y } \] を, 群の pushout diagram \[ \xymatrix { \pi _1(X\cap Y) \ar [r] \ar [d] & \pi _1(X) \ar [d] \\ \pi _1(Y) \ar [r] & \pi _1(X)\ast _{\pi _1(X\cap Y)} \pi _1(Y) } \] に変換する, ということである。より一般的な colimit との可換性については, [Cro59] や [BL87] に書いてある。

基本群と被覆空間の関係から, van Kampen の定理の証明として, 被覆空間を用いたものがあって然る可きであるが, あまり考えた人はいないようである。Tao が, この MathOverflow の質問で, étale fundamental group の van Kampen の定理について聞いていて, その回答を元に, Galois category の視点から, この blog post で証明を与えている。

連結でない空間に対しては, fundamental groupoid を考える必要があるが, それについては Brown と Salleh の [BS84] や Brown と Janelidze と Peschke による一般化 [BJP21] がある。

高次ホモトピー群については, [Sto90] で van Kampen スペクトル系列という形で述べてある。

また, van Kampen の定理に関連した Ehresmann の仕事についての解説として, Ronald Brown の [Bro07] がある。

References

[BJP21]

Ronald Brown, George Janelidze, and George Peschke. “Van Kampen’s theorem for locally sectionable maps”. In: Theory Appl. Categ. 36 (2021), Paper No. 2, 48–64. arXiv: 1910.11620.

[BL87]

Ronald Brown and Jean-Louis Loday. “Van Kampen theorems for diagrams of spaces”. In: Topology 26.3 (1987). With an appendix by M. Zisman, pp. 311–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(87)90004-8.

[Bro07]

Ronald Brown. “Three themes in the work of Charles Ehresmann: local-to-global; groupoids; higher dimensions”. In: Geometry and topology of manifolds. Vol. 76. Banach Center Publ. Warsaw: Polish Acad. Sci., 2007, pp. 51–63. arXiv: math / 0602499. url: http://dx.doi.org/10.4064/bc76-0-3.

[BS84]

Ronald Brown and Abdul Razak Salleh. “A van Kampen theorem for unions on nonconnected spaces”. In: Arch. Math. (Basel) 42.1 (1984), pp. 85–88. url: https://doi.org/10.1007/BF01198133.

[Cro59]

Richard H. Crowell. “On the van Kampen theorem”. In: Pacific J. Math. 9 (1959), pp. 43–50.

[Sto90]

Christopher R. Stover. “A van Kampen spectral sequence for higher homotopy groups”. In: Topology 29.1 (1990), pp. 9–26. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(90)90022-C.