String Diagram

String diagram という category theory で用いられる図がある。正確には, \(2\)-category での morphism や \(2\)-morphism を表すのに使う。 Monoidal category は, object が 1つの bicategory なので, 当然 strict monoidal category にも使える。

というより, どちらかというと monoidal category でよく使われるものだろう。 実際, 基本的な文献である Joyal と Street の [JS91] は, monoidal category に関するものである。Penrose の [Pen71] が起源のようである。

他の文献としては, Penrose と Rindler の本 [PR87; PR88], Street の [Str12] の §1.3, Kissinger の [Kis; Kis14], Calderaru と Willerton の [CW10] の §1.1, Bartlett の [Bar], Selinger の [Sel11], Savage の lecture note [Sav21] などがある。 Savage は, Turaev と Virelizer の本 [TV17] の Chapter 2を参照している。

基本的なアイデアは, object を\(2\)次元胞体, \(1\)-morphism をその境界の \(1\)次元胞体, \(2\)-morphism を\(1\)次元胞体の間の\(0\)次元胞体, として絵を描くことである。つまり, 平面のcellular stratification を用いて, \(2\)-category を表す。

\(2\)-category の場合の文献はあまり無い, と思っていたら, Marsden の [Mar] が出た。色付きの図が豊富である。 Ganter と Usher の [GU16] の §2.2 にも簡単なまとめがある。

Myers [Mye] は, double category への拡張を導入している。

一般化としては, Dorn と Douglas [DD] によ る manifold diagram というものもある。

高次の圏に関する証明の proof assistant として, string diagram を用いた Globular という web 上の service が公開された。 この \(n\)-Category Café のポスト で紹介されている。 nLabのページもある。 残念なことに, 現在では使えないようである。

String diagram に基づいた proof assistant としては, Quantomatic というソフトもある。 Kissinger と Zamdzhiev により [KZ15] で解説されている。 Kissinger は Globular の開発にも参加している。

References

[Bar]

Bruce Bartlett. On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum field theory. arXiv: 0901.3975.

[CW10]

Andrei Căldăraru and Simon Willerton. “The Mukai pairing. I. A categorical approach”. In: New York J. Math. 16 (2010), pp. 61–98. arXiv: 0707.2052. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2010/16_61.html.

[DD]

Christoph Dorn and Christopher Douglas. Manifold diagrams and tame tangles. url: https://cxdorn.github.io/assets/pdfs/mdiag_aug22.pdf.

[GU16]

Nora Ganter and Robert Usher. “Representation and character theory of finite categorical groups”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 21, 542–570. arXiv: 1407.6849.

[JS91]

André Joyal and Ross Street. “The geometry of tensor calculus. I”. In: Adv. Math. 88.1 (1991), pp. 55–112. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(91)90003-P.

[Kis]

Aleks Kissinger. Pictures of Processes: Automated Graph Rewriting for Monoidal Categories and Applications to Quantum Computing. arXiv: 1203.0202.

[Kis14]

Aleks Kissinger. “Abstract tensor systems as monoidal categories”. In: Categories and types in logic, language, and physics. Vol. 8222. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, Heidelberg, 2014, pp. 235–252. arXiv: 1308.3586. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-54789-8_13.

[KZ15]

Aleks Kissinger and Vladimir Zamdzhiev. “Quantomatic: a proof assistant for diagrammatic reasoning”. In: Automated deduction—CADE 25. Vol. 9195. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, Cham, 2015, pp. 326–336. arXiv: 1503.01034. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-21401-6_22.

[Mar]

Dan Marsden. Category Theory Using String Diagrams. arXiv: 1401. 7220.

[Mye]

David Jaz Myers. String Diagrams For Double Categories and Equipments. arXiv: 1612.02762.

[Pen71]

Roger Penrose. “Applications of negative dimensional tensors”. In: Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969). London: Academic Press, 1971, pp. 221–244.

[PR87]

Roger Penrose and Wolfgang Rindler. Spinors and space-time. Vol. 1. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Two-spinor calculus and relativistic fields. Cambridge University Press, Cambridge, 1987, pp. x+458. isbn: 0-521-33707-0.

[PR88]

Roger Penrose and Wolfgang Rindler. Spinors and space-time. Vol. 2. Second. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Spinor and twistor methods in space-time geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1988, pp. x+501. isbn: 0-521-34786-6.

[Sav21]

Alistair Savage. “String diagrams and categorification”. In: Interactions of quantum affine algebras with cluster algebras, current algebras and categorification—in honor of Vyjayanthi Chari on the occasion of her 60th birthday. Vol. 337. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, Cham, [2021] ©2021, pp. 3–36. arXiv: 1806. 06873. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-63849-8_1.

[Sel11]

P. Selinger. “A survey of graphical languages for monoidal categories”. In: New structures for physics. Vol. 813. Lecture Notes in Phys. Heidelberg: Springer, 2011, pp. 289–355. arXiv: 0908.3347. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12821-9_4.

[Str12]

Ross Street. “Monoidal categories in, and linking, geometry and algebra”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 19.5 (2012), pp. 769–821. arXiv: 1201.2991. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1354031551.

[TV17]

Vladimir Turaev and Alexis Virelizier. Monoidal categories and topological field theory. Vol. 322. Progress in Mathematics. Birkhäuser/Springer, Cham, 2017, pp. xii+523. isbn: 978-3-319-49833-1; 978-3-319-49834-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-49834-8.