層についての基本

代数的トポロジーにおいて, 最も古くから使われてきたは, 局所係数だろう。

もちろん, 一般の層についても勉強しておいて損はない。 層についての教科書として, 古典としては, Godement の本 [God73] を挙げておくべきだろうか。 Kashiwara と Schapira の本[KS94] の方が近代的である。 この本の最初には層の歴史に関する Houzel の小論がある。 他には Iversen の本 [Ive86] や Dimca の本[Dim04] や Bredon の本 [Bre67] がある。 Web から download できるものとしては, Schneiders の特性類についての解説 [Sch] が分かりやすい。

Sheaf を定義するためには, まず presheaf が必要である。

  • 前層 (presheaf) の定義
  • 前層の間の morphism の定義
  • ある位相空間上のAbel群に値を持つ前層の圏は Abelian category になる。

そして層の定義。

  • 層 (sheaf) の定義
  • 層の間の morphism の定義
  • 層の stalk の定義
  • 前層の sheafification の定義
  • Abel群に値を持つ層の morphism の前層の morphism としての kernel は層になる。
  • Abel群に値を持つ層の morphism の前層の morphism としての cokernel は層になるとは限らない。その sheafification が層の morphism としての cokernel である。
  • ある位相空間上のAbel群に値を持つ層の圏は, Abelian category になる。

層の例として次のものを知っているべきだろう。

  • constant sheaf
  • 位相空間上の実数値または複素数値連続関数の成す層
  • 局所係数
  • 可微分多様体上の可微分関数の成す層
  • 可微分多様体上の smooth \(p\)-form の成す層
  • vector bundleの cross section の成す層

Vector bundle の section として得られるものを一般化した vector sheaf という種類の層も考えられている。[PV13] など。

Abel群に値を持つ層については, ホモロジー代数ができる。 そのためには以下の概念が必要である。

  • flabby sheaf
  • soft sheaf

Klein型特異点に関係した derived McKay 対応などのように, equivariant sheaf が必要になる場合もある。Lazarev と Voronov の [LV08] では, 参考文献として, Bernstein と Lunts の [BL94] が挙げてある。

  • equivariant sheaf

References

[BL94]

Joseph Bernstein and Valery Lunts. Equivariant sheaves and functors. Vol. 1578. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. iv+139. isbn: 3-540-58071-9.

[Bre67]

Glen E. Bredon. Sheaf theory. New York: McGraw-Hill Book Co., 1967, pp. xi+272.

[Dim04]

Alexandru Dimca. Sheaves in topology. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp. xvi+236. isbn: 3-540-20665-5. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-18868-8.

[God73]

Roger Godement. Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Troisième édition revue et corrigée, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Strasbourg, XIII, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1252. Paris: Hermann, 1973, pp. viii+283.

[Ive86]

Birger Iversen. Cohomology of sheaves. Universitext. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. xii+464. isbn: 3-540-16389-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-82783-9.

[KS94]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds. Vol. 292. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original. Berlin: Springer-Verlag, 1994, pp. x+512. isbn: 3-540-51861-4.

[LV08]

A. Lazarev and A. A. Voronov. “Graph homology: Koszul and Verdier duality”. In: Adv. Math. 218.6 (2008), pp. 1878–1894. arXiv: math/ 0702313. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.03.022.

[PV13]

M. H. Papatriantafillou and E. Vassiliou. “Grassmann sheaves and the classification of vector sheaves”. In: Demonstratio Math. 46.2 (2013), pp. 263–270. arXiv: 0905.0807.

[Sch]

Jean-Pierre Schneiders. Introduction to Characteristic Classes and Index Theory. url: http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf.