Relative Category

Barwick と Kan は, [BK12b] で weak equivalence の subcategory が指定されている category を relative category と呼び, その圏を homotopy theory of homotopy theories として提案している。

似たようなものとして, Dwyer, Hirschhorn, Kan, Smith [Dwy+04] の homotopical category があるが, relative category での weak equivalence の成す subcategory に関する条件は, homotopical category での weak equivalence よりずっと弱く, identity morphism を全て含むだけである。

Homotopy theory of homotopy theories の model として意味を持つためには, 他の model との比較が必要であるが, Barwick と Kan は [BK12b] では complete Segal space との比較を行なっている。また, simplicial category との比較のために, relative category に対して Dwyer-Kan の hammock localization を行ない, simplicial category を構成することができる。Barwick と Kan は, [BK12a] でその homotopy inverse となる relativization functor を定義している。 更に, [BKb] では, quasicategory との比較を行なっている。

また, [BKc] では, relative category に基づいた model category の一般化として, partial model category を定義している。

  • partial model category

Barwick と Kan [BKa] は homotopy theory of \(n\)-fold homotopy theories のモデルとして \(n\)-relative category という概念を導入している。

  • \(n\)-relative category



C. Barwick and D. M. Kan. \(n\)-Relative Categories. arXiv: 1102.0186.


C. Barwick and D. M. Kan. A Thomason-like Quillen equivalence between quasi-categories and relative categories. arXiv: 1101.0772.


C. Barwick and D. M. Kan. Partial model categories and their simplicial nerves. arXiv: 1102.2512.


C. Barwick and D. M. Kan. “A characterization of simplicial localization functors and a discussion of DK equivalences”. In: Indag. Math. (N.S.) 23.1-2 (2012), pp. 69–79. arXiv: 1012.1540. url:


C. Barwick and D. M. Kan. “Relative categories: another model for the homotopy theory of homotopy theories”. In: Indag. Math. (N.S.) 23.1-2 (2012), pp. 42–68. arXiv: 1011.1691. url:


William G. Dwyer, Philip S. Hirschhorn, Daniel M. Kan, and Jeffrey H. Smith. Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories. Vol. 113. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, pp. viii+181. isbn: 0-8218-3703-6.