ind-object と pro-object

代数的トポロジーでは, 空間の tower \[ \cdots \longrightarrow X_1 \longrightarrow X_0 \] をよく使う。例えば, Postnikov tower や Goodwillie tower など。空間の Postnikov 分解を考えることは, inverse limit を取る操作の逆の操作である。 一般の圏でも, inverse limit を取ることにより失われる情報を得るために, tower の段階で考えることがある。より一般に, \(\N \) 以外で添字付けられた図式 (filtered category からの contravariant functor, つまり cofiltered diagram) を object とした pro-object の圏を考える。このとき, 添字の small category は, 一つに固定されているのではないことに注意する。よって morphism の集合の定義を理解することが大事である。

Fausk と Isaksen の [FI07] には, pro-object に関する文献として [SGA4-172; AM86; EH76] が挙げてある。恐らく, limit や colimit を取る前の図式で考えるというアイデアは, Grothendieck に依るものだろう。

もちろん, filtered diagram (filtered category からの covariant functor) も考える。ind-object という。

  • 圏 \(\bm{C}\) の pro-object の圏 \(\category{Pro}(\bm{C})\) と ind-object の圏 \(\category{Ind}(\bm{C})\)

Schäppi [Sch] に書かれているように, \(\bm{C}\) が Abelian ならば, \(\category{Ind}(\bm{C})\) も Abelian になるが, \(\bm{C}\) が Abelian でなくても \(\category{Ind}(\bm{C})\) が Abelian になる場合がある。Schäppi は, そのような圏の特徴付けを得ている。

“有限なもの”の成す圏の pro-object を profinite object という。

よく使われるのは profinite group だろう。他にも profinite ring などがある。Quick [Qui08; Qui11] のように, profinite set の圏の simplicial object を profinite space と呼ぶ, という使い方もある。 一方, pro-simplicial set の圏の model structure は, より古くから, Edwards と Hastings [EH76], Grossman [Gro75], Isaksen [Isa01] などにより定義されている。

Quick や Fausk や Isaksen などは, より一般に pro-object の成す category の model structure を考えている。

Barnea と Schlank [BSb] は, pro-object の成す category が model structure を持つときの functorial factorization の存在を議論するために, pro-object の成す category の morphism の factorization について調べている。

その関連で, 彼等は新しい pro-object の category の定義を [BSa] で提案している。Poset で enrich された category として定義し, その “homotopy category” として定義している。

Barnea, Harpaz, Horel [BHH] では, Isaksen [Isa04] や Barnea と Schlank [BS16] の model category による approach と Lurie による \(\infty \)-category を用いた approach が比較され, それらが 同値であることが示されている。

Kontsevich と Soibelman [KS] は, object の全体が constructible set の ind-object になっている \(A_{\infty }\)-category を考え, ind-constructible \(A_{\infty }\)-category と呼んでいる。

Previdi の [Pre11] によると, 与えられた圏 \(C\) の pro-object の圏を取る操作 \(\category{Pro}(C)\) と ind-object の圏を取る操作 \(\category{Ind}(C)\) を繰り返すことにより, 有限(次元)のものから無限(次元)のものを構成するというアイデアは, K. Kato [Kat00] によるらしい。Kato 以外にも Beilinson [Beı̆87] も考えていたようで, Previdi は, それらを比較している。

Arkhipov と Kremnizer の [AK10] では, 有限次元ベクトル空間の圏の locally compact object を \(1\)-Tate space, 帰納的に \(n\)-Tate space の圏の locally compact object を \((n+1)\)-Tate space と呼んでいる。

  • elementary Tate object
  • Tate object

Braunling と Groechenig と Wolfson [BGW16] は, exact category での elementary Tate object の成す subcategory の特徴付けを得ている。

2-category 版については Descotte と Dubuc の [DD14; DD] で提案されているものがある。

References

[AK10]

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[AM86]

M. Artin and B. Mazur. Etale homotopy. Vol. 100. Lecture Notes in Mathematics. Reprint of the 1969 original. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. iv+169. isbn: 3-540-04619-4.

[Beı̆87]

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[Qui11]

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[Sch]

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[SGA4-172]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.