Dualizable Objects in Monoidal categories

表現論で使われるmonoidal category では, 各 object の dual が定義されることが多い。 トポロジーでも, 有限性を持つものは dual を持つものが多い。 正確には, right dual と left dual を区別する必要がある。

• right dual
• left dual

ただ, Calaque と Etingof の [CE08] と Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik の [Eti+15] では, right と left が逆になっている。

Etingof らは, 全ての object が right dual と left dual を持つ monoidal category を rigid monoidal category と呼んでいるが, Joyal と Street は, [JS93] の §7 では, autonomous monoidal category という用語を使っている。

• rigid monoidal category あるいは autonomous monoidal category

現在では rigid monoidal category という用語の方が一般的のように思う。

Etingof らの本のタイトルは “tensor category” であるが, 彼等は rigid monoidal category である Abelian category で, ある条件をみたすものとして, この用語を用いている。 ただ, この “tensor category” という用語は, 人によって意味が違うので, 注意が必要である。 例えば, Zhang の [Zha] では, 単に monoidal category という意味で使われている。また, monoidal structure を持つ triangulated category で monodal structure と triangulation が “compatible” なものを tensor triangulated category と呼ぶが, そこでも duality のことは仮定されていない。

一般化としては, Boyarchenko と Drinfel\('\)d [BD13] の Grothendieck-Verdier category がある。 Rigid monoidal category での unit \(1\) の役目を, 他の object (dualizing object) に変えたものである。 Barr の [Bar79; Bar95; Bar96; Bar99] では \(*\)-autonomous category と呼ばれている。

• Grothendieck-Verdier category

Boyarchenko と Drinfel\('\)d [BD13] は, §0.4 で \((\infty ,1)\)-category 版についても述べている。

Fuchs, Schaumann, Schweigert, Wood [Fuc+] は Grothendieck-Verder category 上の module category について調べている。

Dualizable object の endomorphism に対しては trace が定義されるが, topological vector space の category のように, dualizable object を持たない monoidal category の object に対しても trace は定義できることが多い。このような trace の一般の monoidal category や bicategory への拡張は何人かの人が考えている。

• monoidal category での trace

Bruno Kahn [Kah] は, semisimple rigid tensor category の object に対し multiplicity を定義した。Del Padrone [Del] は, Deligne [Del07] が 対称群の表現の成す tensor category を一般化することにより自然数とは限らない\(t\)に対し定義した “\(t\) 次対称群の表現の圏”について, object の multiplicity を調べている。

References

[Bar79]

Michael Barr. \(*\)-autonomous categories. Vol. 752. Lecture Notes in Mathematics. With an appendix by Po Hsiang Chu. Springer, Berlin, 1979, pp. iii+140. isbn: 3-540-09563-2.

[Bar95]

Michael Barr. “Nonsymmetric \({}^{*}\)-autonomous categories”. In: Theoret. Comput. Sci. 139.1-2 (1995), pp. 115–130. url: https://doi.org/10.1016/0304-3975(94)00089-2.

[Bar96]

Michael Barr. “\(\ast \)-autonomous categories, revisited”. In: J. Pure Appl. Algebra 111.1-3 (1996), pp. 1–20. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(95)00040-2.

[Bar99]

Michael Barr. “\(\ast \)-autonomous categories: once more around the track”. In: vol. 6. The Lambek Festschrift. 1999, pp. 5–24.

[BD13]

Mitya Boyarchenko and Vladimir Drinfeld. “A duality formalism in the spirit of Grothendieck and Verdier”. In: Quantum Topol. 4.4 (2013), pp. 447–489. arXiv: 1108.6020. url: https://doi.org/10.4171/QT/45.

[CE08]

Damien Calaque and Pavel Etingof. “Lectures on tensor categories”. In: Quantum groups. Vol. 12. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 1–38. arXiv: math/0401246. url: http://dx.doi.org/10.4171/047-1/1.

[Del]

Alessio Del Padrone. Integral objects and Deligne’s category \(\mathrm {Rep}(S_t)\). arXiv: 1010.2662.

[Del07]

P. Deligne. “La catégorie des représentations du groupe symétrique \(S_{t}\), lorsque \(t\) n’est pas un entier naturel”. In: Algebraic groups and homogeneous spaces. Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. Mumbai: Tata Inst. Fund. Res., 2007, pp. 209–273.

[Eti+15]

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. Tensor categories. Vol. 205. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015, pp. xvi+343. isbn: 978-1-4704-2024-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/205.

[Fuc+]

Jürgen Fuchs, Gregor Schaumann, Christoph Schweigert, and Simon Wood. Grothendieck-Verdier module categories, Frobenius algebras and relative Serre functors. arXiv: 2405.20811.

[JS93]

André Joyal and Ross Street. “Braided tensor categories”. In: Adv. Math. 102.1 (1993), pp. 20–78. url: https://doi.org/10.1006/aima.1993.1055.

[Kah]

Bruno Kahn. On the multiplicities of a motive. arXiv: math/0610446.

[Zha]

Shouchuan Zhang. Braided Hopf Algebras. arXiv: math/0511251.