Model Structures on Triangulated Categories and Their Generalizations

Triangulated category は, stable model category の homotopy category になっている場合が多いが, triangulated category 上に model structure を定義することを考えている人もいる。

最初に考えたのは Yang [Yan15] であり, Hovey による Abelian category 上の cotorsion pair の pair による model structure の記述の triangulated category での類似があることを証明している。

Hovey は proper class of extensions に基いて model structure を定義したが, Yang は proper class of triangles を指定することで model structure を構成している。この proper class of triangles は Beligiannis [Bel00] により導入された概念である。

• proper class of triangles

一方, Beligiannis と Reiten [BR07] は, Abelian category 上に complete cotorsion pair が1つあれば, model structure を構成することができることを示している。 その exact category への拡張を Cui ら [CLZ] が行なっているが, Cui と Zhang [CZ] は, その triangulated category での類似を考えている。

Triangulated category には 様々な一般化が考えられているが, その中で extriangulated category の場合に [NP19] で model structure が考えられている。

References

[Bel00]

Apostolos Beligiannis. “Relative homological algebra and purity in triangulated categories”. In: J. Algebra 227.1 (2000), pp. 268–361. url: https://doi.org/10.1006/jabr.1999.8237.

[BR07]

Apostolos Beligiannis and Idun Reiten. “Homological and homotopical aspects of torsion theories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 188.883 (2007), pp. viii+207. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0883.

[CLZ]

Jian Cui, Xue-Song Lu, and Pu Zhang. Model structure from one hereditary complete cortorsion pair. arXiv: 2401.08078.

[CZ]

Jian Cui and Pu Zhang. Model structures on triangulated categories with proper class of triangles. arXiv: 2503.12475.

[NP19]

Hiroyuki Nakaoka and Yann Palu. “Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 60.2 (2019), pp. 117–193. arXiv: 1605.05607.

[Yan15]

Xiaoyan Yang. “Model structures on triangulated categories”. In: Glasg. Math. J. 57.2 (2015), pp. 263–284. url: https://doi.org/10.1017/S0017089514000299.