Locally presentable category の概念は, Gabriel と Ulmer により [GU71]
で導入された。この文献はドイツ語であるが, 幸い Adamek と Rosicky の本 [AR94] がある。 ホモトピー論では, Jeff Smith
が combinatorial model category の概念を定義するのに用いている。また, combinatorial model category
ではない model category の構造が発見されていることから, それに合わせて locally presentable category
の概念を拡張しようという試みもある。Chorny と Rosicky の [CR12] である。
このような, 集合論的困難さを克服するために考えられた概念を理解するためには, 少しづつ定義を理解していくしかない。まず, regular
cardinal \(\lambda \) に対し以下のような概念がある。
- \(\lambda \)-presentable object
- \(\lambda \)-filtered colimit
そして, これらを用いて次が定義される。
- \(\lambda \)-accessible category
- locally \(\lambda \)-presentable category
このように, cardinal に依存した概念なので, cardinal が変ったらどうなるか, 例えば locally \(\aleph _1\)-presentable であるが
locally \(\aleph _0\)-presentable でない例にどんなものがあるか, というのは自然な疑問である。 これは MathOverflow
に登場した質問であり, それに対しては, Theo Bühler が Banach 空間と contraction の成す category
という具体例を挙げてくれている。
一般化としては, simplicial category への一般化が Rosicky [Ros07] により, quasicategory への一般化が
Lurie [Lur09] により導入されている。 更に, monoidal model category で enrich された category へ,
Lack と Rosicky [LR16] により一般化されている。
- homotopy locally presentable category
Quasicategory での対応する概念については, やはり Lurie の本 [Lur09] を見るべきだろう。
- presentable quasicategory
References
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[AR94]
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Jiřı́ Adámek and Jiřı́ Rosický. Locally presentable and accessible
categories. Vol. 189. London Mathematical Society Lecture Note
Series. Cambridge
University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+316. isbn: 0-521-42261-2.
url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511600579.
-
[CR12]
-
B. Chorny and J. Rosický.
“Class-locally presentable and class-accessible categories”. In: J. Pure
Appl. Algebra 216.10 (2012), pp. 2113–2125. arXiv: 1110.0605. url:
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.01.015.
-
[GU71]
-
Peter Gabriel and Friedrich Ulmer. Lokal präsentierbare Kategorien.
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 221. Berlin: Springer-Verlag, 1971,
pp. v+200.
-
[LR16]
-
Stephen Lack and Jiřı́ Rosický. “Homotopy locally presentable
enriched categories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 25,
712–754. arXiv: 1311.3712.
-
[Lur09]
-
Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics
Studies. Princeton University
Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0.
url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.
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[Ros07]
-
J. Rosický. “On homotopy varieties”.
In: Adv. Math. 214.2 (2007), pp. 525–550. arXiv: math/0509655. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.02.011.
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