Locally Presentable and Accessible Categories

Locally presentable category の概念は, Gabriel と Ulmer により [GU71] で導入された。この文献はドイツ語であるが, 幸い Adamek と Rosicky の本 [AR94] がある。 ホモトピー論では, Jeff Smith が combinatorial model category の概念を定義するのに用いている。また, combinatorial model category ではない model category の構造が発見されていることから, それに合わせて locally presentable category の概念を拡張しようという試みもある。Chorny と Rosicky の [CR12] である。

このような, 集合論的困難さを克服するために考えられた概念を理解するためには, 少しづつ定義を理解していくしかない。まず, regular cardinal \(\lambda \) に対し以下のような概念がある。

• \(\lambda \)-presentable object
• \(\lambda \)-filtered colimit

そして, これらを用いて次が定義される。

• \(\lambda \)-accessible category
• locally \(\lambda \)-presentable category

Regular cardinal の基本的な例は \(\aleph _{0}\) であるが, \(\lambda =\aleph _{0}\) の場合, つまり locally \(\aleph _{0}\)-presentable category は, locally finitely presentable category と呼ばれる。 Sarazola による解説 [Sar] がある。

• locally finitely presentable category

同値な定義が色々あるが, colimit で閉じていて, 任意の object が compact object の filtered colimit として表せる, というのが分かり易いと思う。ただ compact object は, 文献によって異なる名前で呼ばれているのでややこしい。 Crawley-Boevey の [Cra94] や Sarazola の [Sar] では finitely presented object, Kashiwara と Schapira の [KS06] では, object of finite presentation, Johnstone の [Joh82] では finitely-presentable object と呼ばれている。 Locally presentable category の文脈では, finitely presentable object と呼ぶのが良いと思うが, compact object の方が短くて言い易い。

• compact object or finitely presentable object

このように, cardinal に依存した概念なので, cardinal が変ったらどうなるか, 例えば locally \(\aleph _1\)-presentable であるが locally \(\aleph _0\)-presentable でない例にどんなものがあるか, というのは自然な疑問である。 これは MathOverflow に登場した質問であり, それに対しては, Theo Bühler が Banach 空間と contraction の成す category という具体例を挙げてくれている。

一般化や変種も色々考えられている。 まずホモトピー論的には, Rosicky [Ros07] により導入された simplicial category 版がある。 Lack と Rosicky [LR16] により調べられている。

• homotopy locally presentable category

更に, monoidal model category で enrich された category へ一般化されている。 Lack と Tendas [LT23] によると, Kelly の本 [Kel05] で登場したのが最初のようである。

更に, enriched accessible category を考えることもできるが, locally presentable category の場合よりも複雑なようである。 Lack と Tendas [LT22; LT23] が調べている。

• enriched locally presentable category
• enriched accessible category

Quasicategory での対応する概念については, やはり Lurie の本 [Lur09] を見るべきだろう。

• presentable quasicategory

他に目にした変種や一般化を挙げると次のようになる。

• class-locally presentable category [CR12]
• nearly locally presentable category [PR18]
• graduated locally presentable category [AS]

References

[AR94]

Jiří Adámek and Jiří Rosický. Locally presentable and accessible categories. Vol. 189. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+316. isbn: 0-521-42261-2. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511600579.

[AS]

Jirí Adámek and Lurdes Sousa. A Finitary Adjoint Functor Theorem. arXiv: 2311.14965.

[CR12]

B. Chorny and J. Rosický. “Class-locally presentable and class-accessible categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.10 (2012), pp. 2113–2125. arXiv: 1110.0605. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.01.015.

[Cra94]

William Crawley-Boevey. “Locally finitely presented additive categories”. In: Comm. Algebra 22.5 (1994), pp. 1641–1674. url: https://doi.org/10.1080/00927879408824927.

[GU71]

Peter Gabriel and Friedrich Ulmer. Lokal präsentierbare Kategorien. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 221. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. v+200.

[Joh82]

Peter T. Johnstone. Stone spaces. Vol. 3. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1982, pp. xxi+370. isbn: 0-521-23893-5.

[Kel05]

G. M. Kelly. “Basic concepts of enriched category theory”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 10 (2005). Reprint of the 1982 original [Cambridge Univ. Press, Cambridge; MR0651714], pp. vi+137.

[KS06]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves. Vol. 332. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. x+497. isbn: 978-3-540-27949-5; 3-540-27949-0. url: https://doi.org/10.1007/3-540-27950-4.

[LR16]

Stephen Lack and Jiří Rosický. “Homotopy locally presentable enriched categories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 25, 712–754. arXiv: 1311.3712.

[LT22]

Stephen Lack and Giacomo Tendas. “Flat vs. filtered colimits in the enriched context”. In: Adv. Math. 404.part A (2022), Paper No. 108381, 50. arXiv: 2107.08612. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108381.

[LT23]

Stephen Lack and Giacomo Tendas. “Virtual concepts in the theory of accessible categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.2 (2023), Paper No. 107196, 40. arXiv: 2205.11056. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107196.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[PR18]

L. Positselski and J. Rosický. “Nearly locally presentable categories”. In: Theory Appl. Categ. 33 (2018), Paper No. 10, 253–264. arXiv: 1710.10476.

[Ros07]

J. Rosický. “On homotopy varieties”. In: Adv. Math. 214.2 (2007), pp. 525–550. arXiv: math/0509655. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.02.011.

[Sar]

Maru Sarazola. An introduction to locally finitely presentable categories. url: https://pi.math.cornell.edu/~maru/documents/locally_finitely_presentable_cats.pdf.