Locally Presentable and Accessible Categories

Locally presentable category の概念は, Gabriel と Ulmer により [GU71] で導入された。この文献はドイツ語であるが, 幸い Adamek と Rosicky の本 [AR94] がある。 ホモトピー論では, Jeff Smith が combinatorial model category の概念を定義するのに用いている。また, combinatorial model category ではない model category の構造が発見されていることから, それに合わせて locally presentable category の概念を拡張しようという試みもある。Chorny と Rosicky の [CR12] である。

このような, 集合論的困難さを克服するために考えられた概念を理解するためには, 少しづつ定義を理解していくしかない。まず, regular cardinal \(\lambda \) に対し以下のような概念がある。

• \(\lambda \)-presentable object
• \(\lambda \)-filtered colimit

そして, これらを用いて次が定義される。

• \(\lambda \)-accessible category
• locally \(\lambda \)-presentable category

このように, cardinal に依存した概念なので, cardinal が変ったらどうなるか, 例えば locally \(\aleph _1\)-presentable であるが locally \(\aleph _0\)-presentable でない例にどんなものがあるか, というのは自然な疑問である。 これは MathOverflow に登場した質問であり, それに対しては, Theo Bühler が Banach 空間と contraction の成す category という具体例を挙げてくれている。

一般化としては, simplicial category への一般化が Rosicky [Ros07] により, quasicategory への一般化が Lurie [Lur09] により導入されている。 更に, monoidal model category で enrich された category へ, Lack と Rosicky [LR16] により一般化されている。

• homotopy locally presentable category

Quasicategory での対応する概念については, やはり Lurie の本 [Lur09] を見るべきだろう。

• presentable quasicategory

References

[AR94]

Jiřı́ Adámek and Jiřı́ Rosický. Locally presentable and accessible categories. Vol. 189. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+316. isbn: 0-521-42261-2. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511600579.

[CR12]

B. Chorny and J. Rosický. “Class-locally presentable and class-accessible categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.10 (2012), pp. 2113–2125. arXiv: 1110.0605. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.01.015.

[GU71]

Peter Gabriel and Friedrich Ulmer. Lokal präsentierbare Kategorien. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 221. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. v+200.

[LR16]

Stephen Lack and Jiřı́ Rosický. “Homotopy locally presentable enriched categories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 25, 712–754. arXiv: 1311.3712.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Ros07]

J. Rosický. “On homotopy varieties”. In: Adv. Math. 214.2 (2007), pp. 525–550. arXiv: math/0509655. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.02.011.