古典的な結び目と絡み目の理論

結び目は, 絵に描けるし「トポロジーらしい」ので, ちょっとトポロジーを勉強してみようという人が最初に目をつけることが多い。 4年生のセミナーで「結び目をやりたい」という人もよく現われる。 しかしながら, 数学的にきちんと扱うのは, それほど簡単ではない。 Euclid空間のトポロジーがまず難しいからである。 Rolfsen の本 [Rol90] にはその辺が詳しく書いてあるので, よいと思う。

他にも結び目の本は色々ある。Chmutov と Duzhin と Mostovoy の [CDM12] は, Vassiliev の finite type invariant の解説であるが, 前半に結び目の解説がある。主要な基本的事実は, 述べてあるだけで証明はないが, 最初に読むにはよいかもしれない。

古典的な結び目の理論の歴史については, arXiv に Przytycki による [Prz] がある。 Birman の Lorenz knot に関する survey [Bir] の最初にも結び目や絡み目の研究の歴史がまとめられている。

Dror Bar-Natanら が始めた Knot Atlas というサイトには, 様々なデータが集約されている。

• 結び目 (knot)
• 絡み目 (link)

結び目や絡み目を扱う際には, Reidemeister move という操作が基本的である。 Reidemeister move に基づいた代数的構造を記述するものとして quandle と呼ばれるものがある。

• Reidemeister move
• quandle

結び目や絡み目は, ambient isotopic なものを同じものとみなすが, 他にも色々な関係が定義されている。 例えば, Fox と Milnor [FM66] により導入された concordance という関係がある。Livingston [Liv05] による survey がある。

• concordance
• concordance group

Gordon は[Gor81] で ribbon concordance を導入し, ribbon concordance が partial order になるという予想を立てた。 Agol がとても短かい証明 [Ago] 発見した。 これについては, Quanta Magazine の記事がある。

結び目に関連したものとして次のようなものがある。

• 組み紐 (braid) と組み紐群 (braid group) [Bir74]
• mapping class group

一般化も色々考えられている。例えば, Kauffman [Kau99] により導入された virtual knot というものがある。

• virtual knot

[FKM] に virtual knot についての unsolved problem がまとめられている。Kauffman は introduction [Kau] も書いている。 また, virtual braid という概念も考えている。

埋め込むものを一般化し, \(1\)次元の単体的複体, つまりグラフを考えている人もいる。

• グラフの埋め込み

結び目は, 様々な不変量を用いて研究されてきた。 最も基本的な不変量は結び目の \(S^3\) 内での補集合の 基本群, つまり knot group である。他にも様々な不変量が 構成されている。

• knot group
• knot や link の不変量

Knot group を tangle に一般化したのが Armstrong の [Arm] である。Tangle は tangle category と呼ばれる small category の morphism であるが, Armstrong は knot に対し knot group を対応させる対応の拡張となる functor を作った。

• tangle
• tangle category

\(2\)次元のものでは, grope というものがある。基本群の lower central series による filtration と関係がある。

• 自然数 \(c\) に対し class \(c\) の grope の定義

Grope は\(2\)次元のCW複体であり, 一般には多様体にはなっていない。Cannon により [Can78] で導入されたらしい。Grope の解説としては, Conant と Teichner の論文 [CT04] が分り易い。 歴史的なことについては, Freedman と Quinn の本 [FQ90] の§2.11 に書いてある。Cochran と Orr と Teichner [COT03] は, knot concordance group の grope による filtration を定義している。

別の analogy としては, \(\bbC ^2\) の中の (特異点を持つ) algebraic curve がある。結び目と同様, complement の基本群が基本的な不変量であるが, やはり結び目同様高度に非可換な群になる。よって, これを knot の手法で調べるというのは自然なアイデアである。まずは, Libgober の [Lib82; Lib83b; Lib83a] といった仕事がある。Leidy と Maxim は, [LM] で higher-order Alexander invariants を定義している。

\(\R ^3\) の contact structure を考慮に入れた Legendrian knot (link) というものも考えられている。

• Legendrian embedding
• Legendrian isotopy
• Legendrian knot (link)

Chekanov [Che02b; Che02a] や Ng [Ng10] など, 様々な人が調べている。

普通は, \(\R ^3\) や \(S^3\) に埋め込まれた \(S^1\) を考えるが, \[ \textrm {oriented surface}\times \R \] の中の結び目を knot on surface と呼び調べている人もいる。 Turaev の [Tur08] とそこにある参考文献をみるとよい。

より一般の\(3\)次元多様体の中の結び目はどれぐらい分かっているのだろうか。 射影空間の中の結び目については, Mroczkowski の [Mro03; Mro04] などがある。

References

[Ago]

Ian Agol. Ribbon concordance of knots is a partial order. arXiv: 2201.03626.

[Arm]

John Armstrong. The Extension of Knot Groups to Tangles. arXiv: math/0509665.

[Bir]

Joan S. Birman. Lorenz knots. arXiv: 1201.0214.

[Bir74]

Joan S. Birman. Braids, links, and mapping class groups. Annals of Mathematics Studies, No. 82. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1974, pp. ix+228.

[Can78]

J. W. Cannon. “The recognition problem: what is a topological manifold?” In: Bull. Amer. Math. Soc. 84.5 (1978), pp. 832–866. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14527-3.

[CDM12]

S. Chmutov, S. Duzhin, and J. Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants. Cambridge: Cambridge University Press, 2012, pp. xvi+504. isbn: 978-1-107-02083-2. arXiv: 1103 . 5628. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139107846.

[Che02a]

Yu. V. Chekanov. “Invariants of Legendrian knots”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Higher Ed. Press, Beijing, 2002, pp. 385–394. arXiv: math/ 0304294.

[Che02b]

Yuri Chekanov. “Differential algebra of Legendrian links”. In: Invent. Math. 150.3 (2002), pp. 441–483. arXiv: math / 9709233. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220200212.

[COT03]

Tim D. Cochran, Kent E. Orr, and Peter Teichner. “Knot concordance, Whitney towers and \(L^2\)-signatures”. In: Ann. of Math. (2) 157.2 (2003), pp. 433–519. arXiv: math / 9908117. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.157.433.

[CT04]

James Conant and Peter Teichner. “Grope cobordism of classical knots”. In: Topology 43.1 (2004), pp. 119–156. arXiv: math/0012118. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00031-4.

[FKM]

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[FM66]

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[FQ90]

Michael H. Freedman and Frank Quinn. Topology of 4-manifolds. Vol. 39. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990, pp. viii+259. isbn: 0-691-08577-3.

[Gor81]

C. McA. Gordon. “Ribbon concordance of knots in the \(3\)-sphere”. In: Math. Ann. 257.2 (1981), pp. 157–170. url: https://doi.org/10.1007/BF01458281.

[Kau]

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[Kau99]

Louis H. Kauffman. “Virtual knot theory”. In: European J. Combin. 20.7 (1999), pp. 663–690. arXiv: math/9811028. url: http://dx.doi.org/10.1006/eujc.1999.0314.

[Lib82]

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[Lib83a]

A. Libgober. “Alexander invariants of plane algebraic curves”. In: Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981). Vol. 40. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983, pp. 135–143.

[Lib83b]

A. Libgober. “Alexander modules of plane algebraic curves”. In: Low-dimensional topology (San Francisco, Calif., 1981). Vol. 20. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1983, pp. 231–247.

[Liv05]

Charles Livingston. “A survey of classical knot concordance”. In: Handbook of knot theory. Elsevier B. V., Amsterdam, 2005, pp. 319–347. arXiv: math/0307077. url: https://doi.org/10.1016/B978-044451452-3/50008-3.

[LM]

Constance Leidy and Laurentiu Maxim. Higher-order Alexander invariants of plane algebraic curves. arXiv: math/0509462.

[Mro03]

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[Mro04]

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[Ng10]

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[Prz]

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[Rol90]

Dale Rolfsen. Knots and links. Vol. 7. Mathematics Lecture Series. Corrected reprint of the 1976 original. Houston, TX: Publish or Perish Inc., 1990, pp. xiv+439. isbn: 0-914098-16-0.

[Tur08]

Vladimir Turaev. “Cobordism of knots on surfaces”. In: J. Topol. 1.2 (2008), pp. 285–305. arXiv: math / 0703055. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtn002.