結び目は, 絵に描けるし「トポロジーらしい」ので, ちょっとトポロジーを勉強してみようという人が最初に目をつけることが多い。
4年生のセミナーで「結び目をやりたい」という人もよく現われる。 しかしながら, 数学的にきちんと扱うのは, それほど簡単ではない。
Euclid空間のトポロジーがまず難しいからである。 Rolfsen の本 [Rol90] にはその辺が詳しく書いてあるので, よいと思う。
他にも結び目の本は色々ある。Chmutov と Duzhin と Mostovoy の [CDM12] は, Vassiliev の
finite type invariant の解説であるが, 前半に結び目の解説がある。主要な基本的事実は, 述べてあるだけで証明はないが,
最初に読むにはよいかもしれない。
古典的な結び目の理論の歴史については, arXiv に Przytycki による [Prz] がある。 Birman の Lorenz knot
に関する survey [Bir] の最初にも結び目や絡み目の研究の歴史がまとめられている。
Dror Bar-Natanら が始めた Knot Atlas というサイトには, 様々なデータが集約されている。
結び目や絡み目を扱う際には, Reidemeister move という操作が基本的である。 Reidemeister move
に基づいた代数的構造を記述するものとして quandle と呼ばれるものがある。
結び目や絡み目は, ambient isotopic なものを同じものとみなすが, 他にも色々な関係が定義されている。 例えば, Fox と
Milnor [FM66] により導入された concordance という関係がある。Livingston [Liv05] による survey
がある。
- concordance
- concordance group
Gordon は[Gor81] で ribbon concordance を導入し, ribbon concordance が partial order
になるという予想を立てた。 Agol がとても短かい証明 [Ago] 発見した。 これについては, Quanta Magazine
の記事がある。
結び目に関連したものとして次のようなものがある。
一般化も色々考えられている。例えば, Kauffman [Kau99] により導入された virtual knot というものがある。
[FKM] に virtual knot についての unsolved problem がまとめられている。Kauffman は
introduction [Kau] も書いている。 また, virtual braid という概念も考えている。
埋め込むものを一般化し, \(1\)次元の単体的複体, つまりグラフを考えている人もいる。
結び目は, 様々な不変量を用いて研究されてきた。 最も基本的な不変量は結び目の \(S^3\) 内での補集合の 基本群, つまり knot group
である。他にも様々な不変量が 構成されている。
Knot group を tangle に一般化したのが Armstrong の [Arm] である。Tangle は tangle category
と呼ばれる small category の morphism であるが, Armstrong は knot に対し knot group
を対応させる対応の拡張となる functor を作った。
\(2\)次元のものでは, grope というものがある。基本群の lower central series による filtration と関係がある。
- 自然数 \(c\) に対し class \(c\) の grope の定義
Grope は\(2\)次元のCW複体であり, 一般には多様体にはなっていない。Cannon により [Can78] で導入されたらしい。Grope
の解説としては, Conant と Teichner の論文 [CT04] が分り易い。 歴史的なことについては, Freedman と Quinn の本
[FQ90] の§2.11 に書いてある。Cochran と Orr と Teichner [COT03] は, knot concordance group
の grope による filtration を定義している。
別の analogy としては, \(\bbC ^2\) の中の (特異点を持つ) algebraic curve がある。結び目と同様, complement
の基本群が基本的な不変量であるが, やはり結び目同様高度に非可換な群になる。よって, これを knot の手法で調べるというのは自然なアイデアである。まずは,
Libgober の [Lib82; Lib83b; Lib83a] といった仕事がある。Leidy と Maxim は, [LM] で
higher-order Alexander invariants を定義している。
\(\R ^3\) の contact structure を考慮に入れた Legendrian knot (link) というものも考えられている。
- Legendrian embedding
- Legendrian isotopy
- Legendrian knot (link)
Chekanov [Che02b; Che02a] や Ng [Ng10] など, 様々な人が調べている。
普通は, \(\R ^3\) や \(S^3\) に埋め込まれた \(S^1\) を考えるが, \[ \textrm {oriented surface}\times \R \] の中の結び目を knot on surface と呼び調べている人もいる。 Turaev の
[Tur08] とそこにある参考文献をみるとよい。
より一般の\(3\)次元多様体の中の結び目はどれぐらい分かっているのだろうか。 射影空間の中の結び目については, Mroczkowski の
[Mro03; Mro04] などがある。
References
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