同相写像や微分同相写像の成す位相群

位相空間 \(X\) の同相写像の成す群 \(\mathrm{Homeo}(X)\) に位相を入れるときには, 少し注意が必要である。たとえ \(X\) が局所コンパクトなどの良い性質を持っていても, compact-open topology では位相群になるとは限らない。対称化した compact-open topology を使わないといけない。これについては, Atiyah と Segal も twisted \(K\)-theory の論文 [AS04] で書いている。

他にも Whitney topology という位相もある。[Ban+] など。

PL多様体に対しては, PL 同相群, 可微分多様体に対しては, diffeomorphism group, symplectic 多様体に対しては, symplectomorphism group が考えられる。

\(\mathrm{Diff}([0,1])\) でさえかなり複雑であることは, Akhmedov の [Akh] などを見ると分かる。また \([0,1]\) の PL 同相群は, Richard Thompson の群と呼ばれる discrete group を含んでいる。

可微分多様体の diffeomorphism group については, Madsen-Weiss の仕事の高次元版として, Galatius と Randal-Williams が [GRb; GRa] でホモロジーの stability について調べている。

位相多様体の homeomorphism group について, Galatius と Randal-Willams の仕事の類似を考えたものとして, Kupers の [Kup] がある。

関連した群として, self-homotopy equivalence の homotopy class の成す群がある。

  • group of self-homotopy equivalences

Costoya と Viruel [CV14] は, 任意の有限群が, elliptic space の group of self-homotopy equivalence で実現できることを示している。

References

[Akh]

Azer Akhmedov. On free discrete subgroups of \(\mathit{Diff}(I)\). arXiv: 1004.2060.

[AS04]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory”. In: Ukr. Mat. Visn. 1.3 (2004), pp. 287–330. arXiv: math/0407054.

[Ban+]

Taras Banakh, Kotaro Mine, Katsuro Sakai, and Tatsuhiko Yagasaki. Homeomorphism and diffeomorphism groups of non-compact manifolds with the Whitney topology. arXiv: 0802.0337.

[CV14]

Cristina Costoya and Antonio Viruel. “Every finite group is the group of self-homotopy equivalences of an elliptic space”. In: Acta Math. 213.1 (2014), pp. 49–62. arXiv: 1106.1087. url: https://doi.org/10.1007/s11511-014-0115-4.

[GRa]

Soren Galatius and Oscar Randal-Williams. Homological stability for moduli spaces of high dimensional manifolds. I. arXiv: 1403.2334.

[GRb]

Soren Galatius and Oscar Randal-Williams. Stable moduli spaces of high dimensional manifolds. arXiv: 1201.3527.

[Kup]

Alexander Kupers. Proving homological stability for homeomorphisms of manifolds. arXiv: 1510.02456.