同相写像や微分同相写像の成す位相群

位相空間 \(X\) の同相写像の成す群 \(\mathrm {Homeo}(X)\) に位相を入れるときには, 少し注意が必要である。たとえ \(X\) が局所コンパクトなどの良い性質を持っていても, compact-open topology では位相群になるとは限らない。対称化した compact-open topology を使わないといけない。これについては, Atiyah と Segal も twisted \(K\)-theory の論文 [AS04] で書いている。

他にも Whitney topology という位相もある。[Ban+11] など。

PL多様体に対しては, PL 同相群, 可微分多様体に対しては, diffeomorphism group, symplectic 多様体に対しては, symplectomorphism group が考えられる。

\(\mathrm {Diff}([0,1])\) でさえかなり複雑であることは, Akhmedov の [Akh10] などを見ると分かる。また \([0,1]\) の PL 同相群は, Richard Thompson の群と呼ばれる discrete group を含んでいる。

可微分多様体の diffeomorphism group については, Madsen-Weiss の仕事の高次元版として, Galatius と Randal-Williams が [GR14; GR18; GR17] でホモロジーの stability について調べている。

Randal-Williams は, disk の diffeomorphism group や Euclid 空間の homeomorphism group の rational homotopy type についての survey [Ran] を書いている。

位相多様体の homeomorphism group について, Galatius と Randal-Willams の仕事の類似を考えたものとして, Kupers の [Kup] がある。

関連した群として, self-homotopy equivalence の homotopy class の成す群がある。

• group of self-homotopy equivalences

Costoya と Viruel [CV14] は, 任意の有限群が, elliptic space の group of self-homotopy equivalence で実現できることを示している。

References

[Akh10]

Azer Akhmedov. “On free discrete subgroups of \(\mathrm {Diff}(I)\)”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.4 (2010), pp. 2409–2418. arXiv: 1004.2060. url: https://doi.org/10.2140/agt.2010.10.2409.

[AS04]

Michael Atiyah and Graeme Segal. “Twisted \(K\)-theory”. In: Ukr. Mat. Visn. 1.3 (2004), pp. 287–330. arXiv: math/0407054.

[Ban+11]

Taras Banakh, Kotaro Mine, Katsuro Sakai, and Tatsuhiko Yagasaki. “Homeomorphism and diffeomorphism groups of non-compact manifolds with the Whitney topology”. In: Topology Proc. 37 (2011), pp. 61–93. arXiv: 0802.0337.

[CV14]

Cristina Costoya and Antonio Viruel. “Every finite group is the group of self-homotopy equivalences of an elliptic space”. In: Acta Math. 213.1 (2014), pp. 49–62. arXiv: 1106 . 1087. url: https://doi.org/10.1007/s11511-014-0115-4.

[GR14]

Søren Galatius and Oscar Randal-Williams. “Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds”. In: Acta Math. 212.2 (2014), pp. 257–377. arXiv: 1201.3527. url: https://doi.org/10.1007/s11511-014-0112-7.

[GR17]

Søren Galatius and Oscar Randal-Williams. “Homological stability for moduli spaces of high dimensional manifolds. II”. In: Ann. of Math. (2) 186.1 (2017), pp. 127–204. arXiv: 1601.00232. url: https://doi.org/10.4007/annals.2017.186.1.4.

[GR18]

Søren Galatius and Oscar Randal-Williams. “Homological stability for moduli spaces of high dimensional manifolds. I”. In: J. Amer. Math. Soc. 31.1 (2018), pp. 215–264. arXiv: 1403 . 2334. url: https://doi.org/10.1090/jams/884.

[Kup]

Alexander Kupers. Proving homological stability for homeomorphisms of manifolds. arXiv: 1510.02456.

[Ran]

Oscar Randal-Williams. Diffeomorphisms of discs. arXiv: 2201. 02380.