Geometric Langlands Program

Stoyanovsky [Sto] や この Quanta の記事によると, Drinfel\('\)d, そしてその後 Beilinson が, Langland の予想の幾何学的な解釈を提案したらしい。 現在, geometric Langlands correspondence と呼ばれているものである。

• geometric Langlands correspondence

解説 (情報源) としては, 以下のようなものがある。

• University of Chicago の Geometric Langlands Seminar の website
• Edward Frenkel の本 [Fre07]
• Gaitsgory の website [Gai] や Bourbaki seminar の [Gai17]
• Parshin による survey [Par12]
• Ben-Zvi と Nadler による geometric Langlands conjecture の Betti form に関する解説 [BN18]

ただその対応には様々な version があり, 全体像を把握するのは容易ではない。 Ben-Zvi と Nadler の [BN18] を見るのがよいと思う。

Ben-Zvi と Nadler によると, 中心となるのは, reductive group \(G\) に対し, complex algebraic curve \(X\) 上の \(G\)-bundle の moduli stack \(\mathrm {Bun}_{G}(X)\) 上の perverse sheaf と \(X\) 上の irreducible \(G^{\vee }\)-local system の間の対応である。

Riemann-Hilbert correspondence により, perverse sheaf を対応する regular holonomic \(\cD \)-module に変えることを提案したのは Beilinson と Drinfel\('\)d らしい。

Ben-Zvi と Nadler の §1.2 には, 次の3つの形の予想が述べられている。

• de Rham geometric Langlands conjecture
• Dolbeault geometric Langlands conjecture
• Betti geometric Langlands conjecture

もともとは, derived category の間の同値として述べられていたと思うが, Ben-Zvi と Nadler の論文では, dg category の間の同値として述べられている。

また, Gaitsgory と Raskin の [GR] には, 更に restricted version と tempered version と restricted tempered version も登場する。 ただ, これらはどれか一つが証明されれば, 他が成り立つという関係にあるようである。

この論文は Gaitsgory らによる5つの論文の最初のものである。 arXiv には, まだ最初2つしか登場していないが, Gaitsgory の website から他のものを download できる。

彼等は, この 5つの論文で geometric Langlands conjecture の証明を完成した, と言っている。

References

[BN18]

David Ben-Zvi and David Nadler. “Betti geometric Langlands”. In: Algebraic geometry: Salt Lake City 2015. Vol. 97. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, pp. 3–41. arXiv: 1606.08523.

[Fre07]

Edward Frenkel. Langlands correspondence for loop groups. Vol. 103. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007, pp. xvi+379. isbn: 978-0-521-85443-6.

[Gai]

Dennis Gaitsgory. Notes on Geometric Langlands. url: http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/GL/.

[Gai17]

Dennis Gaitsgory. “Progrès récents dans la théorie de Langlands géométrique”. In: 390. Séminaire Bourbaki. Vol. 2015/2016. Exposés 1104–1119. 2017, Exp. No. 1109, 139–168. isbn: 978-2-85629-855-8. arXiv: 1606.09462.

[GR]

Dennis Gaitsgory and Sam Raskin. Proof of the geometric Langlands conjecture I: construction of the functor. arXiv: 2405.03599.

[Par12]

A. N. Parshin. “Questions and remarks concerning the Langlands program”. In: Uspekhi Mat. Nauk 67.3(405) (2012), pp. 115–146. arXiv: 1307.1878. url: https://doi.org/10.1070/RM2012v067n03ABEH004795.

[Sto]

A. V. Stoyanovsky. Quantum Langlands duality and conformal field theory. arXiv: math/0610974.