最近様々なところで frieze pattern というものを目にするようになった。 2次元的に数を配置したもので, Coxeter [Cox71]
により考えられた。 元々の Coxeter の動機は連分数を調べることだったようであるが, 最近よく見かけるようになったのは, cluster
algebra との関係が発見されたからのようである。 Morier-Genoud [Mor15] によると, もう一つの起源として,
有限次代数の表現論も挙げるべきのようである。
古い文献としては, Conway と Coxeter の [CC73a; CC73b] があるが, そこでは 多角形の三角形分割との関係が証明されている。
新しいものでは, Mathematical Intelligencer の Baur による解説 [Bau21] がある。 Cluster algebra
のと関連も含めて解説したものとしては, Morier-Genoud の [Mor15] や Pressland の [Pre23] がある。
Tabachnikov の Numberphile での Youtube 動画も見る価値がある。 その続編もある。
最近, 様々な一般化が登場していて興味深い。
- generalized frieze [BHJ14; HJ15]
- frieze pattern with coefficients [CHJ20]
- Heronian frieze [FS21]
- weak frieze [ÇJ21]
- noncommutative frieze pattern [CHJa; CHJb] などがある。
最後のものは, Conway と Coxeter による frieze pattern と凸多角形の三角形分割の対応に基づき Berenstein と
Retakh [BR18] による noncommutative polygon を利用して定義されたものである。
Frieze pattern に関係したものとして, これまで挙げたものの他に以下のようなものがある。 これからもどんどん新しいものとの関係が発見されそうである。
References
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[Bau21]
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[Pre23]
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London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press,
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