葉層構造 (foliation) も微分トポロジーの中で大きな位置を占めている分野である。 Nikolaev の [Nik] では, 解説としては,
Lawson の [Law74] が挙げてある。 S. Hurder による foliation の分類についての survey [Hur]
もある。
代数的トポロジーとの関連では, その分類空間の構成がある。 Segal の [Seg78] など。分類空間といえば特性類であるが, もちろん
foliation の特性類もある。 コホモロジーとしては, 例えば Reinhart [Rei59] の定義した, basic cohomology
がある。その intersection 版である basic intersection homology も定義されている。
- basic cohomoloy
- basic intersection cohomology [SW]
Hyperplane arrangement の complement の cohomology から定義される代数多様体として
resonance variety というものがあるが, そこから foliation の族である web という構造を定義しているのは Pereira
[Per12] である。Pereira と Pirio は “An Invitation to Web Geometry” という本 [PP09]
を書いているが, その Introduction に歴史的なことがまとめられて, web geometry の概要をつかむのによい。
Foliation に対し, (非可換) \(C^*\)-algebra を定義したのは, Connes である。それ以降, foliation は非可換 \(C^*\)-algebra,
つまり非可換幾何の枠組みで捉えることができるようになった。
Stratified space の場合は, Banagl [Ban] により stratified foliation が定義されている。
一般化としては, Toën と Vezzosi [TVb; TVa] による derived geometry での foliation
がある。
References
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[27th Brazilian Mathematics Colloquium]. Instituto Nacional de
Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2009,
pp. xii+245. isbn: 978-85-244-0291-3.
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http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90004-6.
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arXiv: math/0202013.
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Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic foliations and
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2007.09251.
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Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic foliations and derived
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