Foliation

葉層構造 (foliation) も微分トポロジーの中で大きな位置を占めている分野である。 Nikolaev の [Nik] では, 解説としては, Lawson の [Law74] が挙げてある。 S. Hurder による foliation の分類についての survey [Hur] もある。

代数的トポロジーとの関連では, その分類空間の構成がある。 Segal の [Seg78] など。分類空間といえば特性類であるが, もちろん foliation の特性類もある。 コホモロジーとしては, 例えば Reinhart [Rei59] の定義した, basic cohomology がある。その intersection 版である basic intersection homology も定義されている。

  • basic cohomoloy
  • basic intersection cohomology [SW]

Hyperplane arrangement の complement の cohomology から定義される代数多様体として resonance variety というものがあるが, そこから foliation の族である web という構造を定義しているのは Pereira [Per12] である。Pereira と Pirio は “An Invitation to Web Geometry” という本 [PP09] を書いているが, その Introduction に歴史的なことがまとめられて, web geometry の概要をつかむのによい。

  • web geometry

Foliation に対し, (非可換) \(C^*\)-algebra を定義したのは, Connes である。それ以降, foliation は非可換 \(C^*\)-algebra, つまり非可換幾何の枠組みで捉えることができるようになった。

Stratified space の場合は, Banagl [Ban] により stratified foliation が定義されている。

  • stratified foliation

一般化としては, Toën と Vezzosi [TVb; TVa] による derived geometry での foliation がある。

References

[Ban]

Markus Banagl. Foliated Stratified Spaces and a De Rham Complex Describing Intersection Space Cohomology. arXiv: 1102.4781.

[Hur]

Steven Hurder. Classifying foliations. arXiv: 0804.1240.

[Law74]

H. Blaine Lawson Jr. “Foliations”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), pp. 369–418. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1974-13432-4.

[Nik]

Igor Nikolaev. Ordered abelian groups over a CW complex. arXiv: math/0104085.

[Per12]

Jorge Vitório Pereira. “Resonance webs of hyperplane arrangements”. In: Arrangements of hyperplanes—Sapporo 2009. Vol. 62. Adv. Stud. Pure Math. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012, pp. 261–291. arXiv: 1004.0122.

[PP09]

Jorge Vitório Pereira and Luc Pirio. An invitation to web geometry. Publicações Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications]. From Abel’s addition theorem to the algebraization of codimension one webs, \(27^{\mathrm{o}}\) Colóquio Brasileiro de Matemática. [27th Brazilian Mathematics Colloquium]. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2009, pp. xii+245. isbn: 978-85-244-0291-3.

[Rei59]

Bruce L. Reinhart. “Foliated manifolds with bundle-like metrics”. In: Ann. of Math. (2) 69 (1959), pp. 119–132.

[Seg78]

Graeme Segal. “Classifying spaces related to foliations”. In: Topology 17.4 (1978), pp. 367–382. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90004-6.

[SW]

M. Saralegi-Aranguren and R. Wolak. The BIC of a conial fibration. arXiv: math/0202013.

[TVa]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic foliations and derived geometry II: the Grothendieck-Riemann-Roch theorem. arXiv: 2007.09251.

[TVb]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic foliations and derived geometry: the Riemann-Hilbert correspondence. arXiv: 2001.05450.