群の有限性について

群の有限性としては, 有限群かどうか以外にも, 様々な条件が考えられている。群を生成元と関係式で表したときには, 次の2つの条件を考えるのが自然だろう。

• finitely generated
• finitely presented

Finitely generated であるが finitely presented でない例としては, Stallings が [Sta63] で構成したものがある。

群の category から別の有限性の概念を持つ category への functor があると, その functor で写したものの有限性を考えることができる。例えば, 分類空間を取って CW complex にすると, Wall が [Wal65] で考えた, CW complex の有限性条件を考えることができる。 Artal と Cogolludo-Augustin と Matei の [ACM15] の Introduction がよくまとまっている。

• \(\mathrm {F}_n\)
• \(\mathrm {F}_{\infty }\)
• \(G\) が \(\mathrm {F}_1\) であるとは, finitely generated であること。
• \(G\) が \(\mathrm {F}_2\) であるとは, finitely presented であること。

\(\mathrm {F}_{n-1}\) であるが \(\mathrm {F}_n\) でない例としては, Abels [Abe79] の考えたものがある。\(\Z [\frac {1}{p}]\) 係数の \((n+1)\)次上半三角正則行列の成す群である。 Witzel [Wit13] は, それをより一般の algebraic group にしたものを考えている。

更に, 環 \(R\) を係数にした ホモロジーを用いると \(\mathrm {FH}_{n}(R)\) という条件が得られる。これは, Bestvina と Brady により, [BB97] で導入されたものである。

• \(\mathrm {FH}_{n}(R)\)
• \(\mathrm {FH}_{\infty }(R)\) or \(\mathrm {FH}(R)\)

また, \(\Z [G]\)-module の chain complex の category で \(\Z \) に対し同様のことを考える, つまり \(\Z \) の projective resolution で \(n\)次以下が有限生成になっているものを持つかという問題から, \(\mathrm {FP}_n\) という条件が得られる。

• \(\mathrm {FP}_{n}\)
• \(\mathrm {FP}_{\infty }\) or \(\mathrm {FP}\)

Bestvina と Brady [BB97] によると, \(\mathrm {FP}_n\) という条件を導入したのは, Bieri [Bie81] らしい。 このページの Reference で参照しているこの Bieri の monograph は, 2nd edition なので1981年になっているが, 最初は1976年に出ている。 Bieri [Bie76] は, Stallings の例を拡張して, \(\mathrm {FP}_n\) であるが \(\mathrm {FP}_{n+1}\) ではない例を作っている。

Bieri の例は, rank \(2\) の自由群の \((n+1)\) 個の直積から, 各生成元を \(1\in \Z \) に写す写像の kernel であるが, Bestvina と Brady は, [BB97] でその構成を, グラフから作られる right-angled Artin group から \(\Z \) への kernel へ一般化し, 現在 Bestvina-Brady group と呼ばれている群の構成を得た。

• Bestvina-Brady group

\(\mathrm {FP}_n\) の定義で, 係数 \(\Z \) を他の環 \(R\) にした \(\mathrm {FP}_{n}(R)\) という条件もある。Bestvina と Brady の論文で使われているのはこの形である。 また, projective resolution ではなく free resolution を考えると \(\mathrm {FL}_{n}(R)\) という条件を得る。 Leary の [Lea18] で導入されたものだろうか。

• \(\mathrm {FP}_{n}(R)\)
• \(\mathrm {FP}_{\infty }(R)\) or \(\mathrm {FP}(R)\)
• \(\mathrm {FL}_{n}(R)\)
• \(\mathrm {FL}_{\infty }(R)\) or \(\mathrm {FL}(R)\)

単に projective resolution を考えているだけなので, monoid へもそのまま一般化できる。Gray と Steinberg の [GS22; GS24] など。 そして, 更に Abelian category の object にも一般化できる。Bravo, Gillespie, Pérez の [BGP23] である。Bravo らは [Bra+22] は \(\mathrm {FP}_{n}\)-injective object が torsion class になる条件を考えている。

局所コンパクト群に対する拡張は, Abels と Tiemeyer [AT97] により, コンパクト性として導入された。 その際, Ken Brown [Bro87] による type \(\mathrm {FP}_{n}\) であることの ind-space のホモロジーを用いた特徴付けを用いているのが興味深い。

• locally compact Hausdorff group of type \(\mathrm {CF}_{n}\)
• locally compact Hausdorff group of type \(\mathrm {C}_{n}\)

References

[Abe79]

Herbert Abels. “An example of a finitely presented solvable group”. In: Homological group theory (Proc. Sympos., Durham, 1977). Vol. 36. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1979, pp. 205–211.

[ACM15]

Enrique Artal Bartolo, José Ignacio Cogolludo-Agustín, and Daniel Matei. “Arrangements of hypersurfaces and Bestvina-Brady groups”. In: Groups Geom. Dyn. 9.1 (2015), pp. 103–131. arXiv: 1207.0311. url: https://doi.org/10.4171/GGD/307.

[AT97]

H. Abels and A. Tiemeyer. “Compactness properties of locally compact groups”. In: Transform. Groups 2.2 (1997), pp. 119–135. url: https://doi.org/10.1007/BF01235936.

[BB97]

Mladen Bestvina and Noel Brady. “Morse theory and finiteness properties of groups”. In: Invent. Math. 129.3 (1997), pp. 445–470. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050168.

[BGP23]

Daniel Bravo, James Gillespie, and Marco A. Pérez. “Locally type \(\mathrm {FP}_n\) and \(n\)-coherent categories”. In: Appl. Categ. Structures 31.2 (2023), Paper No. 16, 21. arXiv: 1908.10987. url: https://doi.org/10.1007/s10485-023-09709-0.

[Bie76]

Robert Bieri. “Normal subgroups in duality groups and in groups of cohomological dimension \(2\)”. In: J. Pure Appl. Algebra 7.1 (1976), pp. 35–51. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(76)90065-7.

[Bie81]

Robert Bieri. Homological dimension of discrete groups. Second. Queen Mary College Mathematical Notes. London: Queen Mary College Department of Pure Mathematics, 1981, pp. iv+198.

[Bra+22]

Daniel Bravo, Sinem Odabaşı, Carlos E. Parra, and Marco A. Pérez. “Torsion and torsion-free classes from objects of finite type in Grothendieck categories”. In: J. Algebra 608 (2022), pp. 412–444. arXiv: 2201.02224. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2022.05.029.

[Bro87]

Kenneth S. Brown. “Finiteness properties of groups”. In: Proceedings of the Northwestern conference on cohomology of groups (Evanston, Ill., 1985). Vol. 44. 1-3. 1987, pp. 45–75. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90015-6.

[GS22]

Robert D. Gray and Benjamin Steinberg. “Topological finiteness properties of monoids, I: Foundations”. In: Algebr. Geom. Topol. 22.7 (2022), pp. 3083–3170. arXiv: 1706.04387. url: https://doi.org/10.2140/agt.2022.22.3083.

[GS24]

Robert D. Gray and Benjamin Steinberg. “Topological finiteness properties of monoids, II: special monoids, one-relator monoids, amalgamated free products, and HNN extensions”. In: Doc. Math. 29.3 (2024), pp. 511–560. arXiv: 1805.03413. url: https://doi.org/10.4171/dm/959.

[Lea18]

Ian J. Leary. “Uncountably many groups of type \(FP\)”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 117.2 (2018), pp. 246–276. arXiv: 1512.06609. url: https://doi.org/10.1112/plms.12135.

[Sta63]

John Stallings. “A finitely presented group whose 3-dimensional integral homology is not finitely generated”. In: Amer. J. Math. 85 (1963), pp. 541–543. url: https://doi.org/10.2307/2373106.

[Wal65]

C. T. C. Wall. “Finiteness conditions for \(\rm CW\)-complexes”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 56–69. url: https://doi.org/10.2307/1970382.

[Wit13]

Stefan Witzel. “Abels’s groups revisited”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.6 (2013), pp. 3447–3467. arXiv: 1206.0977. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.3447.