Cosheaf

の双対概念として cosheaf がある。 位相空間 \(X\) 上の precosheaf とは \(X\) の開集合と inclusion の成す category 上の単なる covariant functor のことであり, それに貼り合せの条件 を加えたのが cosheaf である。

  • precosheaf
  • cosheaf

Justin Curry の仕事 [CGR; Cur] で知った Bacławski の論文 [Bac75] によると, cosheaf は既に Deheuvels の [Deh62] で調べられている。 60年代に出版されたものとしては, Bredon の [Bre67] もある。

解説としては, Curry の thesis [Cur14] がよいと思う。

Prasolov の [Pra] によると, cosheaf を扱うときの問題は, cofiltered limit が exact functor ではないことで, よって cosheafification の構成が問題となる。

  • cosheafification

Curry や Ghrist が cosheaf を考えているのは, cosheaf homology が persistent homology の一般化になっているからのようである。

  • cosheaf homology

Henselman と Ghrist の [HG]によると \(\R \) 上の constructible cosheaf の homology が persistent homology になる。 Henselman と Ghrist は, その視点から persistent homology を計算する新しい algorithm を考えている。

他にも, Reeb graph の圏を記述すること [SMP] などにも使えるようである。

Curryは, 応用トポロジーに cosheaf を使おうとしているわけだが, それ以外の分野でも cosheaf を使う試みはある。 例えば, Bentmann は [Ben] で 位相空間上の \(C^*\)-algebra の分類のために, \(K\)-theory cosheaf を使っている。 Ruzzi と Vasselli [RV] によると, \(C^*\)-algebra の precosheaf は nets of \(C^*\)-algebras という名前で, algebraic quantum field theory の研究の中で, 過去50年ぐらい 活発に研究されてきたらしい。von Neumann algebra に対しても, nets of von Neumann algebras が考えられてきた。 Hartmann [Har] は, coarse space 上 の modified Roe algebra が cosheaf になることを示している。 Geometric topology でも Ranicki と Weiss [RW10]が cosheaf 的なものを考えている。Levikov の [Lev] もみるとよい。

Sheaf と cosheaf を合せた bisheaf という構造も, Nanda と Patel [NP] によって考えられている。

  • bisheaf

Sheaf の高次版としては stack があるが cosheaf の高次版として costack も当然考えられている。例えば, Pirashvili の [Pir] など。

  • costack

References

[Bac75]

Kenneth Bacławski. “Whitney numbers of geometric lattices”. In: Advances in Math. 16 (1975), pp. 125–138. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(75)90145-0.

[Ben]

Rasmus Bentmann. Classification of certain continuous fields of Kirchberg algebras. arXiv: 1308.2126.

[Bre67]

Glen E. Bredon. Sheaf theory. New York: McGraw-Hill Book Co., 1967, pp. xi+272.

[CGR]

Justin Curry, Robert Ghrist, and Michael Robinson. Euler Calculus with Applications to Signals and Sensing. arXiv: 1202.0275.

[Cur]

Justin Curry. Sheaves, Cosheaves and Applications. arXiv: 1303.3255.

[Cur14]

Justin Michael Curry. Sheaves, cosheaves and applications. Thesis (Ph.D.)–University of Pennsylvania. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2014, p. 317. isbn: 978-1303-96615-6.

[Deh62]

René Deheuvels. “Homologie des ensembles ordonnés et des espaces topologiques”. In: Bull. Soc. Math. France 90 (1962), pp. 261–321. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1962__90__261_0.

[Har]

Elisa Hartmann. A twisted Version of controlled K-Theory. arXiv: 1711.03746.

[HG]

Gregory Henselman and Robert Ghrist. Matroid Filtrations and Computational Persistent Homology. arXiv: 1606.00199.

[Lev]

Filipp Levikov. From \((\mathbb{Z},X)\)-modules to homotopy cosheaves. arXiv: 1503.07433.

[NP]

Vidit Nanda and Amit Patel. Canonical stratifications along bisheaves. arXiv: 1812.05593.

[Pir]

Ilia Pirashvili. The fundamental groupoid as a terminal costack. arXiv: 1406.4419.

[Pra]

Andrei V. Prasolov. Cosheaves. arXiv: 1804.07988.

[RV]

Giuseppe Ruzzi and Ezio Vasselli. The \(K\)-homology of nets of \(C^*\)-algebras. arXiv: 1312.2944.

[RW10]

Andrew Ranicki and Michael Weiss. “On the construction and topological invariance of the Pontryagin classes”. In: Geom. Dedicata 148 (2010), pp. 309–343. arXiv: 0901.0819. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-010-9527-2.

[SMP]

Vin de Silva, Elizabeth Munch, and Amit Patel. Categorified Reeb Graphs. arXiv: 1501.04147.