Automorphism Groups

同型の概念を考える正しい場は, である。 写像と合成と恒等写像の類似があれば定義できるからである。 よって任意の圏 \(\bm {C}\) の object \(X\) に対し, \(X\) の \(\bm {C}\) での自己同型の成す群 \(\mathrm {Aut}_{\bm {C}}(X)\), つまり automorphism group が定義される。

逆に, 与えられた群がある圏のある object の automorphism group として表されるか, というのも自然な疑問である。 実際, 様々人によって考えられている。 例えば, Galois 群として定義できるか, というのが, 有名な inverse Galois problem である。

  • Galois 群
  • inverse Galois problem

一般に, どんな群も圏 \(\bm {C}\) のある object の automorphism group と同型になるとき, \(\bm {C}\) は universal category である, というらしい。 任意の有限群が automorphism group として実現できるときは, finitely universal category という。 Díaz Ramos, Molinier, Viruel [RMV] は, [Bab95] の §4.1 を参照している。

  • universal category
  • finitely universal category

Díaz Ramos らの論文の Introduction に, 次のような例が挙げられている。

彼等自身は, partial group の圏が universal であることを示している。その動機は, 群の圏が finitely universal でもないことのようである。

Gareth Jones [Jon20] によると, 有限群は dessin d’enfant の automorphism group としても実現できるようである。 Viruel は, Cañas, Hidalgo, Javier Turiel と共に [Cañ+] で noncompact dessen d’enfants の automorphism group として任意の可算群が実現できることを示している。

群の圏では, 特別な automorphism として innner automorphism があるが, Parker [Par] によると, その圏論的特徴付けが, Schupp [Sch87] と Bergman [Ber12] により得られている。 Parker は, 群の圏に値を持つ presheaf の圏の場合を調べている。

群の一般化として, quantum group があるが, graph などの組み合せ論的構造の quantum automorphism group も考えられている。

References

[Bab95]

László Babai. “Automorphism groups, isomorphism, reconstruction”. In: Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 1995, pp. 1447–1540.

[Ber12]

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[Cañ+]

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[Par]

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[RMV]

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[Sab60]

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