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ポセット に対して Wythoffian という新しいポセットを作る構成がある。 元のポセットに対する Wythoff construction
ともいう。 Wythoff の kaleidoscope construction と言った方が丁寧であるが。
Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] によると, Wythoff により, 1918年の論文
[Wyt18] で考えられたものらしい。 文献として, Coxeter の [Cox68; Cox73] や McMullen と Schulte の本
[MS02], そして Scharlau の [Sch90] などが挙げられている。
McMullen の本 [McM20] によると, Wythoff の論文には, 4次元 正多面体である,
正600胞体の場合のみしか書かれていないようである。 McMullen は, Robinson の1931年の論文 [Rob31]
を参照している。
多面体の場合は切頂などの「切り取る操作」, つまり trunction に対応する。 Schulte と Williams [SW16]
に書かれているように, truncation と呼ばれることも多い。例えば, Conway と Sloane の sphere packing の本
[CS99] や Pisanski と Randić の [PR00] など。
この Schulte と Williams の論文には, 3次元の abstract polytope の場合の記述がある。 別のアプローチとしては,
Pisanski と Žitnik の [PŽ09] や del Rio Francos の [Río14] が挙げられている。
これらの文献のタイトルからもわかるように, 主に 凸多面体 (特に正多面体) に対し考えられているようである。 凸多面体 (の face
poset) に適用するとまた凸多面体 (の face poset) ができるので, 凸多面体に対する操作と考えることもできるからである。 Deza
らは, maximal chain (flag) の長さが全て同じ \(d\) であるポセット (\(d\)-complex) に対する構成として定義している。
ただし, Deza らの論文に書いてある構成を凸多面体の face poset に対して適用するときは, 最大元 (と最小限 \(\emptyset \))
を除かないといけないことに注意する。
Deza らの論文 [DDS08] では, 正多面体の Wythoffian の \(1\)-skeleton で与えられる graph が, cube や
half cube に isometric に埋め込めるかという問題が考えられている。
Coxeter group に対しても Wythoff construction があり, それとの関係が考えられている。 Deza らの論文では,
algebraic construction として [Max89] が, geometric construction として [MP95]
が挙げられている。
- Coxeter group に対する Wythoff construction
Dutour Sikiric と Ellis の [DE09] によると, 有限群のコホモロジーの計算にも使えるようである。
Conder らの [Con+22] では, highly regular expander を作るのに使われている。
References
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[Con+22]
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François Thilmany. “Constructing highly regular expanders
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[Cox73]
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[CS99]
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With additional contributions by E. Bannai, R. E. Borcherds, J.
Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and B.
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