Gray-Tensor Products and Gray-Categories

Gray [Gra74] は, strict \(2\)-category の category に, 新しい monoidal structure を定義した。 Gray-tensor product と呼ばれる。

• Gray-tensor product

この monoidal category で enrichされた category を Gray-category と呼ぶ。 直截的な記述は, 例えば Ferrer の [Fer22] の Appendix A にある。

• Gray-category

Strict \(2\)-category の category には, もちろん, 直積 (Cartesian product) により monoidal structure を定義することもできるが, 高次の圏を扱うときには, Gray-tensor product の方が有用である。

例えば, tricategory を strict 3-category にすることは, 一般にはできないが, 任意の tricategory は, Gray-category と triequivalent になるので, tricategory の strict化としては, strict \(3\)-category ではなく Gray-category を使うべきである。 これは, 任意の bicategory が strict 2-category と biequivalent ことと対照的である。

その特別な場合として, monoidal bicategory が Gray-monoid と同値になる。

• Gray-monoid

Lack の [Lac11] によると, Gray-groupoid が homotopy 3-type の model として使えることは, Joyal と Tierney の “unpublished theorem” だったらしい。Lack は Gray-category の category に model structure を導入し, その model structure による証明を与えている。

• Lack の model structure
• Gray-groupoid

Martins と Picken [MP11] は, 高次の微分幾何学的構造を記述するために, 可微分多様体の fundamental Gray \(3\)-groupoid を定義している。

Gray-tensor product の高次化については, まず, Crans [Cra99] が定義した Gray-category の tensor product がある。その更なる 高次化を考えているのが, Weber らの [BCW; Web13; BCW13] である。

一方, Böhm は [Böh20] は, double category の category に Gray-tensor product のような monoidal structure を定義している。 その枠組みでの intercategory の類似について, Femić が [Fem] で考えている。

Strict monoidal category や 2-category は, string diagram という図式を用いると扱い易いことが知られているが, tricategory の strict版である Gray category について, 3次元の図を用いようという試みが, Barrettと Meusburger と Schaumann の [BMS] にある。

• string diagram

他の enriched category での類似が定義できる場合もある。例えば, dg category での類似は, Shoikhet の [Sho20] で定義されている。

References

[BCW]

Michael Batanin, Denis-Charles Cisinski, and Mark Weber. Algebras of higher operads as enriched categories II. arXiv: 0909.4715.

[BCW13]

Michael Batanin, Denis-Charles Cisinski, and Mark Weber. “Multitensor lifting and strictly unital higher category theory”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), No. 25, 804–856. arXiv: 1209.2776.

[BMS]

John W. Barrett, Catherine Meusburger, and Gregor Schaumann. Gray categories with duals and their diagrams. arXiv: 1211.0529.

[Böh20]

Gabriella Böhm. “The Gray monoidal product of double categories”. In: Appl. Categ. Structures 28.3 (2020), pp. 477–515. arXiv: 1901. 10707. url: https://doi.org/10.1007/s10485-019-09587-5.

[Cra99]

Sjoerd E. Crans. “A tensor product for \(\mathbf {Gray}\)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 5 (1999), No. 2, 12–69 (electronic).

[Fem]

Bojana Femić. Alternative notion to intercategories: part I. A tricategory of double categories. arXiv: 2010.06673.

[Fer22]

Giovanni Ferrer. “Gray-categories model algebraic tricategories”. In: Theory Appl. Categ. 38 (2022), Paper No. 29, 1136–1155. arXiv: 2203.03748.

[Gra74]

John W. Gray. Formal category theory: adjointness for \(2\)-categories. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 391. Berlin: Springer-Verlag, 1974, pp. xii+282.

[Lac11]

Stephen Lack. “A Quillen model structure for Gray-categories”. In: J. K-Theory 8.2 (2011), pp. 183–221. arXiv: 1001.2366. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010008014jkt127.

[MP11]

João Faria Martins and Roger Picken. “The fundamental Gray 3-groupoid of a smooth manifold and local 3-dimensional holonomy based on a 2-crossed module”. In: Differential Geom. Appl. 29.2 (2011), pp. 179–206. arXiv: 0907 . 2566. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.difgeo.2010.10.002.

[Sho20]

Boris Shoikhet. “On the twisted tensor product of small dg categories”. In: J. Noncommut. Geom. 14.2 (2020), pp. 789–820. arXiv: 1803.01191. url: https://doi.org/10.4171/jncg/380.

[Web13]

Mark Weber. “Free products of higher operad algebras”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), No. 2, 24–65. arXiv: 0909.4722.