Lie algebra の中で, differential を持つ differential graded Lie algebra も代数的トポロジーにはよく登場する。
有理ホモトピー論では重要な道具であるし, Cohen-Moore-Neisendorfer のホモトピー群の exponent
に関する仕事でも使われている。
Schlessigner と Stasheff の [SS] によると, Goldman と Millson への手紙の中で, deformation
theory のどんな問題も differential graded Lie algebra で control されるということを主張したのは, Deligne
らしい。
ある種の graded associative algebra からは, 自然に graded Lie algebra ができる。Denham と
Suciu の [DS06] に定義がある。
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holonomy Lie algebra
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homotopy Lie algebra
他には, [Avr98; FL02] などを見るとよい。
Differential graded Lie algebra の モデル圏の構成については, [Sho] がある。
Fiorenza と Manetti と Martinengo の [FMM12] では, semicosimplicial differential
graded Lie algebra というものが考えられている。その total complex に \(L_{\infty }\)-structure が入ることが示されている。
Differential graded Lie algebra から simplicial set を作る, つまりその「幾何学的実現」を取る方法はいくつかある。Buijs
らの [Bui+] では次のものが挙げられている。
- Quillen のもの [Qui69]
- Bousfield と Guggenheim のもの [BG76]
- Hinich のもの [Hin97]
- Buijs, Félix, Murillo, Tanréの [Bui+20]
Buijs ら [Bui+] は, 彼等が [Bui+20] で導入したものと, Hinich のものが同値であることを示している。
References
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[Avr98]
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[BG76]
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A. K. Bousfield and V. K. A. M. Gugenheim. “On \(\mathrm{PL}\) de Rham theory
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(1976), pp. ix+94. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0179.
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[Bui+]
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Urtzi Buijs, Yves Félix, Aniceto Murillo, and Daniel Tanré.
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[Bui+20]
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Urtzi Buijs, Yves Félix, Aniceto Murillo, and Daniel Tanré. “Lie
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url: https://doi.org/10.1007/s11856-020-2026-8.
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[DS06]
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url: http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1156345597.
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[FL02]
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[FMM12]
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Domenico Fiorenza, Marco Manetti, and
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90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.
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[Sho]
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Boris Shoikhet. An explicit construction of the Quillen homotopical
category of dg Lie algebras. arXiv: 0706.1333.
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[SS]
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Mike Schlessinger and Jim Stasheff. Deformation theory and rational
homotopy type. arXiv: 1211.1647.
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