Persistent homology の変種や関連した概念

Persistent homology より前に, 同じ動機で Frosini により導入された概念として size function というものがある。 Di Fabio と Landi の [FLa] では, computer vision における shape recognition への応用が考えられている。

  • size function

更に, Frosini と Mulazzani は, [FM99] で size homotopy group というものも導入している。またベクトルに値を持つ size function も考えられている。Size functor [CFP01] という概念もあるらしい。

Cagliari らは [CDF10] で persistent homology と size function の関係について述べている。

Homology があれば cohomology もある。そして対の (co)homology もある。 それらの persistent 版の関係については, de Silva と Morosov と Vejdemo-Johansson の [SMV11] を見るとよい。

  • absolute persistent homology
  • absolute persistent cohomology
  • relative persistent homology
  • relative persistent cohomology

Knudson の [Knu08] によると, Zomorodian と Carlsson により, filtered space のホモロジーとして調べられているが, 実際の応用では複数の filtration の入った multifiltered space の場合を考える必要があるようである。そこで Carlsson と Zomorodian は, multidimension 版を [CZ09] で考えている。 Multidimensional persistent homology を調べたものとしては, Frosini ら [Cer+; FLb; Cer+13] のベクトルに値を持つ size function によるものもある。これについては, Kashiwara と Schapira [KS18] による, constructible sheafderived category を用いた formulation もある。その続編 [KS] も出た。

  • multidimensional persistence

Persistent homology の元になる filtered chain complex を作る方法としては, 写像 \(f:X\to \R \) による \(X\) の filtration から作るものもある。 それを一般の多様体に値を持つ写像に拡張する試みとして, MacPherson と Patel の [MP] がある。

他の一般化としては, A型の quiver を用いる zigzag persistence がある。Carlsson と de Silva [CS10] により導入された。 Tausz と Carlsson [TC] が3つの応用について述べている。 その拡張として parametrized homology というもの [Ver] もある。Carlsson と de Silva と Morozov によるらしい。

  • zigzag persistence
  • parametrized homology

より一般に, Gabriel の定理により D型, E型の quiver による図式に対する persistent homology も barcode で表される。

ADE quiver でないものについては, 例えば, 梯子型の small category の場合がある。 Escolar と Hiraoka の [EH] や Asashiba, Escolar, Hiraoka, Takeuchi の [Asa+] で調べられている。Underlying quiver が acyclic である図式の場合は, Chambers と Letcher [CL] により考えられている。 Ogle [OS] は, 一般の poset で index された図式を考えているが, module に制限を付けることで ADE quiver の場合と同様のことが成り立つようにしている。

群作用のある場合については, Frosini [Fro; FJ] が考えている。

  • \(G\)-invariant persistent homology

特異ホモロジー版を Goldfarb [Gol] が導入している。

  • singular persistent homology

Chowdhury と Mémoli [CM] は, Grigor\('\)yan, Lin, Muranov, Yau が [Gri+] で導入した path homology と呼ばれる quiver のホモロジーを用い, quiver の filteration に対して persistent homology を調べている。

  • quiver の path homology

Saveliev は [Sav]で, ホモロジー類がいつ生れていつ死ぬかを無視し, どれだけ長く生きているかだけを見ることを提案し, homology of filtration というものを定義している。

Burghelea と Dey [BD] は, \(S^1\) に値を持つ写像の persistence について考えているが, quiver の表現が不変量として出てきていて面白い。

Belchi と Murillo [BM15; Bel] は, \(A_{\infty }\)-coalgebra structure を入れたものを考えている。実際の問題にどの程度有用なのかは不明であるが。 また, Herscovich [Her]は, Kadeishvili の, dg algebra のコホモロジーが \(A_{\infty }\)-algebra の構造を持つという結果 [Kad82] に着目し, persistent cohomology が multiplicative な filtration からできている場合に, その \(A_{\infty }\)-structure を調べている。

Persistence は, ホモロジー以外にも使われるようになってきた。Franek と Krčál の [FK] では cohomotopy 群が使われている。 Rieser [Rie] は, persistent homotopy 群を定義している。

Edelsbrunner と Wagner [EW] は persistet homology の対象を, 一般化された距離を持つ point cloud に拡張することを試みている。

References

[Asa+]

Hideto Asashiba, Emerson G. Escolar, Yasuaki Hiraoka, and Hiroshi Takeuchi. Matrix Method for Persistence Modules on Commutative Ladders of Finite Type. arXiv: 1706.10027.

[BD]

Dan Burghelea and Tamal K. Dey. Persistence for Circle Valued Maps. arXiv: 1104.5646.

[Bel]

Francisco Belchí. Optimising the topological information of the \(A_\infty \)-persistence groups. arXiv: 1706.06019.

[BM15]

Francisco Belchı́ and Aniceto Murillo. “\(A_\infty \)-persistence”. In: Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 26.1-2 (2015), pp. 121–139. arXiv: 1403.2395. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00200-014-0241-4.

[CDF10]

Francesca Cagliari, Barbara Di Fabio, and Massimo Ferri. “One-dimensional reduction of multidimensional persistent homology”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 138.8 (2010), pp. 3003–3017. arXiv: math/0702713. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-10-10312-8.

[Cer+]

Andrea Cerri, Barbara Di Fabio, Massimo Ferri, Patrizio Frosini, and Claudia Landi. Multidimensional persistent homology is stable. arXiv: 0908.0064.

[Cer+13]

Andrea Cerri, Barbara Di Fabio, Massimo Ferri, Patrizio Frosini, and Claudia Landi. “Betti numbers in multidimensional persistent homology are stable functions”. In: Math. Methods Appl. Sci. 36.12 (2013), pp. 1543–1557. url: https://doi.org/10.1002/mma.2704.

[CFP01]

Francesca Cagliari, Massimo Ferri, and Paola Pozzi. “Size functions from a categorical viewpoint”. In: Acta Appl. Math. 67.3 (2001), pp. 225–235. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011923819754.

[CL]

Erin Wolf Chambers and David Letscher. Persistent Homology Over Directed Acyclic Graphs. arXiv: 1407.2523.

[CM]

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[CS10]

Gunnar Carlsson and Vin de Silva. “Zigzag persistence”. In: Found. Comput. Math. 10.4 (2010), pp. 367–405. arXiv: 0812.0197. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10208-010-9066-0.

[CZ09]

Gunnar Carlsson and Afra Zomorodian. “The theory of multidimensional persistence”. In: Discrete Comput. Geom. 42.1 (2009), pp. 71–93. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-009-9176-0.

[EH]

Emerson G. Escolar and Yasuaki Hiraoka. Persistence Modules on Commutative Ladders of Finite Type. arXiv: 1404.7588.

[EW]

Herbert Edelsbrunner and Hubert Wagner. Topological Data Analysis with Bregman Divergences. arXiv: 1607.06274.

[FJ]

Patrizio Frosini and Grzegorz Jablonski. Combining persistent homology and invariance groups for shape comparison. arXiv: 1312.7219.

[FK]

Peter Franek and Marek Krčál. Persistence of Zero Sets. arXiv: 1507.04310.

[FLa]

Barbara Di Fabio and Claudia Landi. Cech homology for shape recognition in the presence of occlusions. arXiv: 0807.0796.

[FLb]

Patrizio Frosini and Claudia Landi. Stability of multidimensional persistent homology with respect to domain perturbations. arXiv: 1001.1078.

[FM99]

Patrizio Frosini and Michele Mulazzani. “Size homotopy groups for computation of natural size distances”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 6.3 (1999), pp. 455–464. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1103065863.

[Fro]

Patrizio Frosini. G-invariant Persistent Homology. arXiv: 1212.0655.

[Gol]

Boris Goldfarb. Singular persistent homology with geometrically parallelizable computation. arXiv: 1607.01257.

[Gri+]

Alexander Grigor’yan, Yong Lin, Yuri Muranov, and Shing-Tung Yau. Homologies of path complexes and digraphs. arXiv: 1207.2834.

[Her]

Estanislao Herscovich. A higher homotopic extension of persistent (co)homology. arXiv: 1412.1871.

[Kad82]

T. V. Kadeishvili. “The algebraic structure in the homology of an \(A(\infty )\)-algebra”. In: Soobshch. Akad. Nauk Gruzin. SSR 108.2 (1982), 249–252 (1983).

[Knu08]

Kevin P. Knudson. “A refinement of multi-dimensional persistence”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.1 (2008), pp. 259–281. arXiv: 0706.2608.

[KS]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Piecewise linear sheaves. arXiv: 1805.00349.

[KS18]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Persistent homology and microlocal sheaf theory”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 83–113. arXiv: 1705.00955. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0019-z.

[MP]

Robert MacPherson and Amit Patel. Persistent Local Systems. arXiv: 1805.02539.

[OS]

Crichton Ogle and Sami Sultan. On the structure of modules indexed by small categories. arXiv: 1803.08108.

[Rie]

Antonio Rieser. Cech Closure Spaces: A Unified Framework for Discrete and Continuous Homotopy. arXiv: 1708.09558.

[Sav]

Peter Saveliev. Homology groups of filtrations. arXiv: 1101.2008.

[SMV11]

Vin de Silva, Dmitriy Morozov, and Mikael Vejdemo-Johansson. “Dualities in persistent (co)homology”. In: Inverse Problems 27.12 (2011), pp. 124003, 17. arXiv: 1107.5665. url: https://doi.org/10.1088/0266-5611/27/12/124003.

[TC]

Andrew Tausz and Gunnar Carlsson. Applications of Zigzag Persistence to Topological Data Analysis. arXiv: 1108.3545.

[Ver]

Sara Kalisnik Verovsek. Alexander Duality for Parametrized Homology. arXiv: 1303.1591.