Nonassociative Algebra

結合法則をみたさない代数的構造も, 様々な場面で登場する。 最も良く使われるのは Lie algebra だろう。

Jordan algebra は, 例外型Lie群の構成などで使われる。 もちろん 八元数 やその一般化である Cayley-Dickson algebra も代表的な例である。 八元数は, 部分的に associative になっていて, alternative algebra という class に属している。

Voronin の [Vor] に, Jordan algebra の様々な変種について書かれている。それによると, Kolesnikov [Kol08] により導入された Jordan dialgebra と Velasquez と Felipe [VF08] の quasi-Jordan algebra が同じものであることが, Bremner [Bre] によって証明されたらしい。

Bremner らは, Jordan trialgebra と post-Jordan algebra を [BBM] で導入している。

Alternative algebra の作用を考えるために, Casas と Datuashvili と Ladra [CDL] は Orzech が [Orz72] で導入した “category of interest” というものを考えている。これは, 群 (Abel群) にいくつかの operation を追加した構造の成す category である。 あまり良い名前とは思えないが。

  • category of interest

他には, Davydov と Runkel の [DR15] で登場する b-algebra というものがある。

  • b-algebra

彼等は, b-algebraの many-objectification を考えることにより, braided monoidal category の一般化である b-category の概念を得ている。

加法に関する結合性を弱めたものとして, neardomain という構造がある。 Cara と Kieboom と Vervloet の [CKV] でその category が調べられている。

  • neardomain
  • nearfield

Nonassociative algebra を使った, nonassociative (differential) geometry を調べている人もいる。Szabo らの [BSSa; BSSb; BSSc; AĆS; Ćir+] など。

References

[AĆS]

Paolo Aschieri, Marija Dimitrijevic Ćirić, and Richard J. Szabo. Nonassociative differential geometry and gravity with non-geometric fluxes. arXiv: 1710.11467.

[BBM]

Fatemeh Bagherzadeh, Murray Bremner, and Sara Madariaga. Jordan Trialgebras and Post-Jordan Algebras. arXiv: 1611.01214.

[Bre]

Murray R. Bremner. On the definition of quasi-Jordan algebra. arXiv: 1008.2009.

[BSSa]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. Nonassociative geometry in quasi-Hopf representation categories I: Bimodules and their internal homomorphisms. arXiv: 1409.6331.

[BSSb]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. Nonassociative geometry in quasi-Hopf representation categories II: Connections and curvature. arXiv: 1507.02792.

[BSSc]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. Working with Nonassociative Geometry and Field Theory. arXiv: 1601.07353.

[CDL]

José Manuel Casas, Tamar Datuashvili, and Manuel Ladra. Actor of an alternative algebra. arXiv: 0910.0550.

[Ćir+]

Marija Dimitrijević Ćirić, Grigorios Giotopoulos, Voja Radovanović, and Richard J. Szabo. \(L_{\infty }\)-Algebras of Einstein-Cartan-Palatini Gravity. arXiv: 2003.06173.

[CKV]

Philippe Cara, Rudger Kieboom, and Tina Vervloet. A categorical approach to loops, neardomains and nearfields. arXiv: 1207.3600.

[DR15]

Alexei Davydov and Ingo Runkel. “An alternative description of braided monoidal categories”. In: Appl. Categ. Structures 23.3 (2015), pp. 279–309. arXiv: 1307.5969. url: https://doi.org/10.1007/s10485-013-9338-3.

[Kol08]

P. S. Kolesnikov. “Varieties of dialgebras, and conformal algebras”. In: Sibirsk. Mat. Zh. 49.2 (2008), pp. 322–339. arXiv: math/0611501. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0026-8.

[Orz72]

G. Orzech. “Obstruction theory in algebraic categories. I, II”. In: J. Pure Appl. Algebra 2 (1972), 287–314, ibid. 2 (1972), 315–340.

[VF08]

Raúl Velásquez and Raúl Felipe. “Quasi-Jordan algebras”. In: Comm. Algebra 36.4 (2008), pp. 1580–1602. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870701865996.

[Vor]

Vasily Voronin. Special and exceptional Jordan dialgebras. arXiv: 1011.3683.