Modular Forms

楕円コホモロジーの登場以来, 代数的トポロジーを勉強するためにも modular form と 楕円曲線は「一般教養」となった。 楕円コホモロジーとも関係あるが, 興味深い現象として monstrous moonshine がある。

この MathOverflow の質問は, modular form の起源について聞いたものであるが, KConrad による回答によると 1800年前後に Gauss の仕事の中で登場したのが最初の例のようである。

まずは, 複素平面の上半平面への\(\SL _2(\R )\)の作用 (一次分数変換) が必要になる。

  • 一次分数変換

そして上半平面上の関数で, この作用に関し“良い性質”を持つものを考えるわけである。

Modular form や楕円曲線に関しては, 数多くの文献がある。 簡潔に述べてあるものとして, かつて Rochester で学生だったときに, Ravenel 先生から Serre の本 [Ser73a] を勧められたことがある。確かに手っ取り早く理解するにはいいかもしれない。

他に目にしたものを挙げると, 次のようになる:

  • Roy の歴史的な視点からの本 [Roy17]
  • Deligne の [BK75] の論文
  • Henri Cohen の lecture notes [Coh19]
  • Diamond と Shurman の [DS05]
  • Milne の course note [Mil17]
  • 4人による lecture notes [Bru+08]
  • Apostol の本 [Apo90]
  • Hida の本 [Hid93]
  • Iwaniec の本 [Iwa97]
  • Knapp の本 [Kna92]
  • Knopp の本 [Kno70]
  • Lang の本 [Lan95]
  • Miyake の本 [Miy06]
  • Ogg の本 [Ogg69]
  • Koblitz の本 [Kob93]
  • Rankin の本 [Ran77]
  • Schoeneberg の本 [Sch74]
  • Shimura の本 [Shi94]
  • Romik の本 [Rom23] の Chapter 5

4人による lecture notes [Bru+08] の中の Zagier による解説では, 応用として sums of squares の問題が取り上げられている。

基本的な例としては, Eisenstein series や Dedekind の \(\eta \)-function を挙げるべきだろうか。

一般化や変種も色々考えられている。

References

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