Intersection (co)homology

Intersection (co)homology は, Goresky と MacPherson [GM80] により 単体的複体の (コ)ホモロジーstratified space に一般化することにより導入された。 Klimczak [Kli] によると, その動機は [71] の中で Sullivan により提案された問題らしい。 その後, コホモロジーについては perverse sheaf を用いた定義が発見 [GM83] され, 代数幾何学表現論などに応用されている。

“Perverse” という言葉がどうして選ばれたかについて, MathOverflow のこの質問 で聞かれているが, それに対し Goresky が答えている。

  • perverse sheaf

この sheaf による intersection cohomology の定義については, stratified space 上の constructible sheafderived category の \(t\)-structure としての解釈が, Beiinson と Bernstein と Deligne [BBD82] により得られている。 Deligne はそれを scheme 上の coherent sheaf に一般化することを考えていたようであるが, それは未出版のようである。 それを書いたのが Arinkin と Bezrukavnikov の [AB10] である。Vitoria [Vit] は, それを torsion theory で書き直せることを示しているが, それにより, 非可換な世界へも適用できるようである。

Intersection (co)homology や perverse sheaf の解説としては, まず Kirwan の本 [Kir88] がある。最近, その改訂版 [KW06] が出た。MacPherson による未出版の “Intersection Homology and Perverse Sheaves” という解説もある。 Greg Friedman の topology notes のページから download できる。

Kleiman の [Kle] で概略をつかんでから Kirwan の本を読んでみるのもよいかもしれない。 複素代数多様体のトポロジーという視点からの perverse sheaf の motivation については, de Cataldo と Migliorini の解説 [CM09] がある。

代数的トポロジーで, 単体的複体のホモロジーが特異ホモロジーで置き換わったように, 単体分割を用いた intersection homology に対し特異 intersection homology を定義しようという試みもある。 King の試み [Kin85] が最初であり, その後 Gajer [Gaj96] により simplicial set を用いて定義された。更に, King の定義を 局所係数でも使えるように改良した Friedman の定義 [Fri07b] もある。この Friedman の定義では perversity に関する条件も不要になっている。一般の perversity に対する intersection homology の拡張としては, Saralegi-Aranguren のもの [Sarb] もある。

Friedman は, その一般の perversity に対する intersection homology に基づいた singular intersection homology について書いた本 [Fri20] を出している。 トポロジーの人は, まずこの本を読んでみるのがよいと思う。

Hovey は [Hov09] で intersection homology の categorical foundation として何が適当かを考えている。それによると, intersection homology は, perversity の成す poset から module のcategory への functor と解釈すべきのようである。Hovey は, そのような functor の成す Abelian category を調べている。それは, Friedman [Fri09b] によって使われている。

有理ホモトピー論の視点から考えているのは, Chataur と Saralegi-Arangurenと Tanré [CSTb] である。 その目的は, Sullivan の minimal model を stratified space に一般化することだったようである。 そのために, filtered \(\Delta \)-set を使って, blown-up intersection cohomology という構成を導入している。

  • blown-up intersection cohomology

彼等は, [CSTa] で, その性質を調べている。 Chataurらは, [CSTc] で 彼等の blown-up intersection cohomology での Poincaré dualityを証明している。 この Poincaré duality が成り立つことが, intersection homology の最も重要な性質の一つである。

  • intersection homology の Poincaré duality

Sheaf-theoretic な intersection homology と simplicial な intersection homology での Poincaré duality の比較については, Friedman と McClure の [FM] がある。

他には, Fine [Fina; Finb] が stratified simplex を用いた local-global intersection homology というものを定義している。

位相空間のホモロジーの公理化の類似も考えられている。

  • Mayer-Vietoris sequecne
  • 切除同型
  • Gajer による intersection homology の公理
  • Gajer の intersection homology の公理をみたす homology theory の比較定理

Cappell と Maxim と Shaneson は, [CMS08a] で complex algebraic variety の intersection homology Euler characteristic が写像によりどう変るかを調べている。彼等は, [CMS08b] で, genera や characteristic class についても調べている。 「特異点を持った多様体」に対して, どれだけ特性類が拡張できるか, ということについての survey としては Schuermann と Yokura の [SY07] がある。

Poncaré duality の類似が成り立つことから, intersection form を定義して signature の一般化を定義することもできる。Friedman と Hunsicker の [FH] では perverse signature と呼ばれている。

  • perverse signature

可微分多様体の場合は, 微分形式を用いた de Rham cohomology と singular cohomology との間の同型があるが, intersection cohomology についても類似のものがある。ただし微分形式として \(L^p\)-form (\(1<p\le \infty \)) を用いた de Rham cohomology の変種を用いる。 これは Cheeger [Che79; Che80] によるものである。 詳しくは, Valette の [Valb] を見るとよい。 他にも, Goresky と MacPherson による通常の微分形式を用いたものもあるらしい。Saralegi [Sar94] によると, Brylinski の 1986年の preprint “Equivariant intersection cohomology” に書かれているらしい。 それを改良したのが, この Saralegi の論文である。

  • intersection cohomology に対する de Rham の定理の類似

応用は多岐に亘るが, 例えば次のようなものがある。

  • hypersurface complement の Alexander module [Max]
  • \(S^1\) 作用を持つ空間 \(X\) に対し, \(X/S^1\) の intersection cohomology と, その Euler class から \(X\) を決定する。[PS]
  • Foliation の basic cohomology の intersection 版とその応用 [Sar94; PSWb; PSWa; SW16]

群の作用を持つ場合, equivariant intersection (co)homology も考えることができる。

位相空間の圏の上の (co)homology theory について成り立つことが, intersection (co)homology に対してどれぐらい成り立つか, というのは, 自然な疑問である。 以下は, 疑問及び現在分っていることである。

  • intersection homology の Leray-Serre spectral sequenceは, 特別な場合は Friedman [Fri03]により構成された。また [Pad04; Pada] で, 特別な場合の Gysin sequence が得られている。 Intersection homology に対するLeray-Serre スペク トル系列の類似を考える際に, 問題は stratified space の fibration とは何か, ということである。

    Friedman によるその問に対する解答は [Fri07a] であり, そこで stratified fibration に対する spectral sequence が構成されている。

  • Franz と Weber は, algebraic variety の perverse sheaf による intersection cohomology に対し, Eilenberg-Moore spectral sequence を構成 [FW] している。 一般の stratified space に対しても, singular chain を用いて構成できそうである。
  • Künneth の定理については, [CGJ92; Fri09a] などで証明されている。 Friedman と McClure [FM13] は, Künneth の定理を用いて, cup product と cap product を定義することに成功している。
  • Friedman と McClure は, 彼等の cap product を用いて, Lefschetz duality の類似を証明している。Intersection (co)homology の Lefschetz duality についての文献としては, 他に Valette の [Vala]や Saralegi-Arangurenの [Sara] などがある。
  • コホモロジー作用素については, Goreskyの [Gor84], Goresky と Pardon の [GP89], そして Chataur らの [CST16] がある。
  • Friedman は intersection homology を用いて Alexander polynomial の一般化も定義 [Fri04] している。Khovanov homology の intersection 版はできるのだろうか?
  • \(K\)-theory や cobordism の intersection version は存在するか?

最後の疑問に対しては, 最近 scheme の algebraic \(K\)-theory の枠組みでの試みが登場した。 Padurariu の [Padd; Padc; Padb] など。 それ以前にも, Cautis の [Cau15], Cautis と Kamnitzer の [CK18], そして Eberhardt の [Ebe] などの試みがあったが。

  • intersection \(K\)-theory

Intersection homology は, 最初 Poincaré duality を特異点を持った多様体に拡張するために導入されたものであるが, 逆に intersection homology に対し Poincaré duality が成り立つ空間は, どんな空間か, という研究もある。Siegel [Sie83] により Witt space が定義されたのが最初だろう。

Witt space は intersection homology が定義される pseudomanifold として自然な class であるが, Witt space ではない空間に対しても intersection homology や \(L^2\) de Rham cohomology を拡張しようという試みがある。 Albin, Banagl, Leichtnam, Mazzeo, Piazza の [Alb+] など。

Morse理論の類似としては, stratified Morse theory がある。

Computational topology の視点から, intersection homology での persistence を考えている人もいる。Bendich と Harer [BH11] である。

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