Discrete Morse Theory

Blochの [Blo13]によると, Morse theory の discrete analogue を考えた人は何人かいるようである。 最近有名なのは, Forman のCW複体上の Morse theory だろう。Bloch は, Banchoff の [Ban67; Ban70; Ban83] を挙げている。 この“discrete Cerf theoryがあるか”という Math Overflow の質問に対する コメントでは, Bestvina の [Bes08] が挙げられている。

Forman のものは, 文献としては [For95; For98b; For98a; MY99] などがある。解説としては, Forman自身による User’s Guide [For02a] がある。Jonsson の graph からできる単体的複体の本 [Jon08] や Kozlov の本 [Koz08] にも解説が含まれている。

  • discrete Morse function
  • critical cell
  • critical cell の数と Betti 数に関する Morse 不等式の類似

Morse 関数の族に対し, critical cell の生成と消滅を考えているのは, King と Knudson と Mramor の [KKM] である。

単体的複体regular cell complex の場合には, その face poset で全て議論できる。例えば, 多様体の Morse theory の gradient vector field に対応するのは, face poset の Hasse diagram 上の acyclic matching である。また gradient flow に対応するのは, その acyclic matching の成す path である。

  • discrete vector field
  • acyclic matching

Forman は, gradient flow に対応する path として, 余次元1の面の関係になっている alternating sequence を考えたが, それでは条件が厳しすぎて, 多様体の Morse theory の真似をするのは難しい。そこで, Nanda と Tanaka との共著 [NTT18] で flow path という概念を導入した。

  • Forman の gradient path
  • flow path

Flow path が「正しい」gradient flow の類似であることは, Cohen-Jones-Segal の preprint [CJS] の主定理の離散版が証明されていることで保証されている, と思っている。 Nanda による categorical な approach [Nan19] もある。

多様体のMorse theoryの場合には, Morse関数がある transversality を満たすと, ホモロジーがその多様体のホモロジーと同型になる chain complex が作れるが, discrete Morse theory でも同様の chain complex が構成できる。Gallais は, その chain complex の combinatorial realization を [Gal10] で与えている。

PL topology組み合せ論など様々な応用が考えられている。

自然な疑問は, 可微分多様体の Morse 理論との関係であるが, それについては, Gallais [Gal10] や Benedetti [Ben16] らが調べている。

様々な variation も考えられている。

Forman は, Witten の [Wit82] の類似も [For98b] で考えている。 Novikov による Morse \(1\)-form に関する Morse theory の類似も [For02b] で考えている。

Bauer と Edelsbrunner の [BE] で使われている “generalized discrete Morse theory” では, 2つの cell の face poset の中での interval が matched pair の代わりに使われている。

\(L^2\)-Betti 数に対しても, Mathai と Yates により discrete Morse theory の類似がある。

  • \(L^2\)-discrete Morse theory [MY99]

この Mathai と Yates の論文では, 無限個の cell を持つ CW complex に discrete Morse theory を拡張することが考えられている。別の方向からの discrete Morse theory の無限次元版としては, Kukiela が [Kuk] や [Kuk13] で考えているものがある。

境界を持つ多様体に使えるようにした version を Benedetti [Ben12] が 考えている。

Goresky と MacPherson の stratified Morse theory の discrete 版は, Knudson と Wang の [KW] で考えられている。

代数的な (chain complex に対する) 類似も考えられている。 何人かにより, 独立に考えられたようである。Kozlov の [Koz05], Batzies と Welker の [BW02] とそれを発展させた Jöllenberg と Welker の [JW; JW09], そして Sköldberg の [Skö06] がある。 Kozlov は、 [Koz08] の中で algebraic Morse theory と呼んでいる。 その\(N\)-complexへの一般化を Jonsson が この preprint で定義している。

  • algebraic Morse theory
  • \(N\)-complex に対する algebraic Morse theory

Freij [Fre09] による equivariant version もある。

  • equivariant discrete Morse theory

Nicolaescu [Nic10] はdiscrete Morse theory を tame space (\(o\)-minimal structure を持つ空間) 上の tame flow の理論の一部としてとらえ, tame flow の理論を展開している。

Discrete Morse theory は, 計算機による計算にも使われるが, その立場から random discrete Morse theory という変種が Benedetti と Lutz [BL] により導入されている。

  • random discrete Morse theory

References

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