Categories with Dualities

Category theory は, 双対の概念を扱うのに便利な枠組みである。 表現論などで良く目にするのは, object の dual を持つ monoidal category であり, evaluation map や coevaluation map を抽象化した構造である。

一方, Schlichting [Sch10] は, bilinear form や quadratic form を抽象化することを考え, category with duality の概念を導入した。 体 \(k\) 上のベクトル空間 \(V\) 上の bilinear form は, \(k\)-linear map \[ q: V\otimes _{k} V \rarrow {} k \] であるが, adjoint を取ると \[ V \rarrow {} V^{*} \] となり, monoidal structure を使わずに定義できる。この \((-)^{*}\) を抽象化した functor を持つ category が category with duality である。

Schlichting の目的は algebraic \(K\)-theory を定義することだったので, exact category with duality などの概念を定義している。

• linear category with duality
• exact category with duality

正確に言うと Schlichting の目的は, quadratic form の isometry class の空間の \(K\)-theory の一般化なので, 更に, [Sch21; Sch; MS] で form category や exact form category, そしてそれらの algebraic \(K\)-theory を定義し, 調べている。

• form category
• exact form category

References

[MS]

Daniel Marlowe and Marco Schlichting. Higher \(K\)-theory of forms III: from chain complexes to derived categories. arXiv: 2411.09401.

[Sch]

Marco Schlichting. Higher \(K\)-theory of forms II. From exact categories to chain complexes. arXiv: 2411.08746.

[Sch10]

Marco Schlichting. “Hermitian \(K\)-theory of exact categories”. In: J. K-Theory 5.1 (2010), pp. 105–165. url: http://dx.doi.org/10.1017/is009010017jkt075.

[Sch21]

Marco Schlichting. “Higher \(K\)-theory of forms I. From rings to exact categories”. In: J. Inst. Math. Jussieu 20.4 (2021), pp. 1205–1273. url: https://doi.org/10.1017/S1474748019000410.