関手の微積分とは何か

Goodwillie は, 一連の論文 [Goo90; Goo92; Goo03] で位相空間の圏から位相空間の圏や spectrum の圏へ の functor で, 弱同値を保つものを研究した。 そのようなものを homotopy functor という。

• homotopy functor

Goodwillie は, ある条件をみたす homotopy functor に対し, 関数の微積分の類似が行なえることを示したのである。 特に, Taylor展開の類似である Taylor tower という fibration の tower を構成した。

• Taylor tower

Taylor 展開は, 関数の多項式による近似なので, Taylor tower は関手の「多項式関手」による近似のはずである。

では, その多項式関手とは何かであるが, 最初に考えたのは Eilenberg と Mac Lane [EM54] だろう。 彼等は, Abelian category の間の (additve とは限らない) 関手に対し, その cross-effect (deviation) を定義し, それが消えていることで多項式関手を定義した。

• cross-effect
• polynomial functor

Goodwillie は, homotopy functor に対し, そのホモトピー論的類似を定義し, 同じく cross-effect と呼んでいるが, Eilenberg と Mac Lane の論文は参考文献に挙げていない。知っていたとは思うが。

• cross-effect of homotopy functor

さて, より一般に, 位相空間の圏に似た性質を持つ model category の間の homotopy functor に対し, 関手の微積分を考えることができる。[Goo03] では, Grothendieck のように relative な場合, つまり fiberwise な圏も考えている。 更にその後, 定義域の圏を幾何学的な情報を持った圏にした calculus も Weiss などによって考えられている。

関連した問題として, homotopy functor の分類がある。Goodwillie [Goo03] は, 位相空間の圏から位相空間あるいは, spectrum の圏への linear functor は, あるspectrum \(E\) により, \(E\wedge (-)\) と表わされることを示した。これは Taylor tower の記述の基礎になっている。

他に homotopy functor に関する研究としては, Arone と Ching の [AC15] がある。Chorny [Cho16] によると, Dwyer と Rezk による未出版のものもあるらしい。

References

[AC15]

Gregory Arone and Michael Ching. “A classification of Taylor towers of functors of spaces and spectra”. In: Adv. Math. 272 (2015), pp. 471–552. arXiv: 1209.5661. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.12.007.

[Cho16]

Boris Chorny. “A classification of small homotopy functors from spectra to spectra”. In: Fund. Math. 234.2 (2016), pp. 101–125. arXiv: 1303.7108. url: https://doi.org/10.4064/fm952-12-2015.

[EM54]

Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. “On the groups \(H(\Pi ,n)\). II. Methods of computation”. In: Ann. of Math. (2) 60 (1954), pp. 49–139. url: https://doi.org/10.2307/1969702.

[Goo03]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. III. Taylor series”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 645–711 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.645.

[Goo90]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. I. The first derivative of pseudoisotopy theory”. In: \(K\)-Theory 4.1 (1990), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00534191.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.