Equivariant (Co)homology by the Borel Construction

既存の (co)homology を群の作用を持つ空間に拡張する方法として, 最も簡単なのは, Borel construction \(X_{hG}=EG\times _{G}X\) の (co)homology として定義する方法だろう。 この Borel construction による equivariant (co)homology のことを, 以下 Borel equivariant (co)homology ということにする。

Borel equivariant cohomology を用いて, Fadell と Husseini [FH87; FH88] は, 群のコホモロジーの ideal に値を持つ群作用の不変量を定義した。 Angel らの [AB] にその基本的な性質がまとめられている。

  • Fadell-Husseini index

Živaljević の User’s Guide [Živ98] に解説がある。 Blagojević, Ziegler, そしてその共同研究者により様々な問題に使われている。 [BZ11; BZ09; BLZ] など。

Tene [Ten] は Borel equivariant homology に関し, Poincaré duality の類似を成り立たせるための新しい equivariant cohomology を定義している。

Equivariant \(K\)-theory については, Atiyah [Ati61] や Atiyah と Segal [AS69] により発見された, 表現論との関係が重要であるが, \(K\)-theoryが \(v_1\)-periodic cohomology theory であることに着目し, \(v_n\)-periodic cohomology theory の Borel equivariant cohomology への一般化を考えたものとして, Hopkins, Kuhn, Ravenel の仕事 [HKR00] がある。

  • Hopkins-Kuhn-Ravenel の generalized group character

この結果の Stapleton [Sta13] による一般化もある。Stapleton は, Talbot workshop での lecture note を [Sta] として公開しているが, かなり予備知識がないと読むのはつらいだろう。



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