Equivariant (Co)homology by the Borel Construction

既存の (co)homology を群の作用を持つ空間に拡張する方法として, 最も簡単なのは, Borel construction \(X_{hG}=EG\times _{G}X\) の (co)homology として定義する方法だろう。 この Borel construction による equivariant (co)homology のことを, 以下 Borel equivariant (co)homology ということにする。

Borel equivariant cohomology を用いて, Fadell と Husseini [FH87; FH88] は, 群のコホモロジーの ideal に値を持つ群作用の不変量を定義した。 Angel らの [AB] にその基本的な性質がまとめられている。

• Fadell-Husseini index

Živaljević の User’s Guide [Živ98] に解説がある。 Blagojević, Ziegler, そしてその共同研究者により様々な問題に使われている。 [BZ11; BZ09; BLZ] など。

Tene [Ten] は Borel equivariant homology に関し, Poincaré duality の類似を成り立たせるための新しい equivariant cohomology を定義している。

Equivariant \(K\)-theory については, Atiyah [Ati61] や Atiyah と Segal [AS69] により発見された, 表現論との関係が重要であるが, \(K\)-theoryが \(v_1\)-periodic cohomology theory であることに着目し, \(v_n\)-periodic cohomology theory の Borel equivariant cohomology への一般化を考えたものとして, Hopkins, Kuhn, Ravenel の仕事 [HKR00] がある。

• Hopkins-Kuhn-Ravenel の generalized group character

この結果の Stapleton [Sta13] による一般化もある。Stapleton は, Talbot workshop での lecture note を [Sta] として公開しているが, かなり予備知識がないと読むのはつらいだろう。

References

[AB]

Andrés Angel and Jerson Borja. Equilateral \(p\)-gons in \(\R ^d\) and deformed spheres and mod \(p\) Fadell-Husseini index. arXiv: 1706.01618.

[AS69]

M. F. Atiyah and G. B. Segal. “Equivariant \(K\)-theory and completion”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 1–18.

[Ati61]

M. F. Atiyah. “Characters and cohomology of finite groups”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 9 (1961), pp. 23–64. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1961__9__23_0.

[BLZ]

Pavle V. M. Blagojević, Wolfgang Lück, and Günter M. Ziegler. Equivariant Topology of Configuration Spaces. arXiv: 1207.2852.

[BZ09]

Pavle V. M. Blagojević and Günter M. Ziegler. “Tetrahedra on deformed spheres and integral group cohomology”. In: Electron. J. Combin. 16.2, Special volume in honor of Anders Bjorner (2009), Research Paper 16, 11. arXiv: 0808.3841. url: http://www.combinatorics.org/Volume_16/Abstracts/v16i2r16.html.

[BZ11]

Pavle V. M. Blagojević and Günter M. Ziegler. “The ideal-valued index for a dihedral group action, and mass partition by two hyperplanes”. In: Topology Appl. 158.12 (2011), pp. 1326–1351. arXiv: 0704.1943. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2011.05.008.

[FH87]

E. Fadell and S. Husseini. “Relative cohomological index theories”. In: Adv. in Math. 64.1 (1987), pp. 1–31. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(87)90002-8.

[FH88]

Edward Fadell and Sufian Husseini. “An ideal-valued cohomological index theory with applications to Borsuk-Ulam and Bourgin-Yang theorems”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems \(8^*\).Charles Conley Memorial Issue (1988), pp. 73–85. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0143385700009342.

[HKR00]

Michael J. Hopkins, Nicholas J. Kuhn, and Douglas C. Ravenel. “Generalized group characters and complex oriented cohomology theories”. In: J. Amer. Math. Soc. 13.3 (2000), 553–594 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-00-00332-5.

[Sta]

Nathaniel Stapleton. An introduction to HKR character theory. arXiv: 1308.1414.

[Sta13]

Nathaniel Stapleton. “Transchromatic generalized character maps”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.1 (2013), pp. 171–203. arXiv: 1110.3346. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.171.

[Ten]

Haggai Tene. Some geometric equivariant cohomology theories. arXiv: 1210.7923.

[Živ98]

Rade T. Živaljević. “User’s guide to equivariant methods in combinatorics. II”. In: Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 64(78) (1998). 50th anniversary of the Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences and Arts (Belgrade, 1996), pp. 107–132.