距離の一般化

距離はとても素朴な概念なので, 様々な方向に一般化されている。

まず誰でも思いつくのは \(\infty \) も許した距離だろう。例えば, Bridgeland の stability condition の空間についての [Bri07] や Mineyev の [Min05] などで使われている。

取る値を一般化するという方向では, Conant の [Con] で ordered commutative monoid に値を持つ距離関数が考えられている。

距離の3つの公理の条件を弱めたものも考えられている。 非対称なものは, 例えば, Thurston の [Thu] や Lenzhen と Kasra と Tao の [LRT] などで登場する。 K. Turner の [Tur] では quasimetric と呼ばれている。

  • asymmetric metric あるいは quasimetric

このような非対称なものは, Lawvere による metric space を enriched category とみなす視点 [Law73] と相性がよい。

Edelsbrunner と Wagner の [EW] では Bregman divergence (distance) [Brè67] というものが考えられている。 非退化であるという性質のみをみたすものである。 その目的は topological data analysis の適用範囲を広げるためである。

  • Bregman divergence

対称性と非負であるということのみみたすもの Hao Chen [Che] が考えている。

\(d(x,x)=0\) のみをみたすものは, Bruno と Szeptycki の [BS] では premetric spaceと呼ばれ, その category が調べられている。

  • premetric space

Gähler [Gäh63] により導入された \(2\)-metric space というものもある。これは3点 \(x,y,z\in X\) に対し実数 \(d(x,y,z)\) を対応させるものである。

  • \(2\)-metric space

最近では, Aliouche と Simpson が一連の論文 [ASb; AS14; ASa] の中で調べている。

更に, 有限部分集合に対して実数を対応させるものもある。Bryand と Tupper [BT] により導入された diversity というものである。

  • diversity

非可換幾何学の視点での一般化は, やはり Connes [Con89] により導入されたようである。 その後, compact quantum metric space という概念が, Rieffel [Rie98; Rie99; Rie04] により整備された。

  • compact quatum metric space

References

[ASa]

Abdelkrim Aliouche and Carlos Simpson. Approximate categorical structures. arXiv: 1511.01532.

[ASb]

Abdelkrim Aliouche and Carlos T. Simpson. Fixed points and lines in 2-metric spaces. arXiv: 1003.5744.

[AS14]

Abdelkrim Aliouche and Carlos Simpson. “Common fixtures of several maps on 2-metric spaces”. In: Indian J. Math. 56.2 (2014), pp. 229–262.

[Brè67]

L. M. Brègman. “A relaxation method of finding a common point of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming”. In: Z̆. Vyčisl. Mat. i Mat. Fiz. 7 (1967), pp. 620–631.

[Bri07]

Tom Bridgeland. “Stability conditions on triangulated categories”. In: Ann. of Math. (2) 166.2 (2007), pp. 317–345. arXiv: math/0212237. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.317.

[BS]

J. Bruno and P. Szeptycki. Quantales, generalised premetrics and free locales. arXiv: 1502.05351.

[BT]

David Bryant and Paul F. Tupper. Hyperconvexity and Tight Span Theory for Diversities. arXiv: 1006.1095.

[Che]

Hao Chen. Distance Geometry for Kissing Spheres. arXiv: 1203.2131.

[Con]

Gabriel Conant. Extending partial isometries of generalized metric spaces. arXiv: 1509.04950.

[Con89]

A. Connes. “Compact metric spaces, Fredholm modules, and hyperfiniteness”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems 9.2 (1989), pp. 207–220. url: https://doi.org/10.1017/S0143385700004934.

[EW]

Herbert Edelsbrunner and Hubert Wagner. Topological Data Analysis with Bregman Divergences. arXiv: 1607.06274.

[Gäh63]

Siegfried Gähler. “\(2\)-metrische Räume und ihre topologische Struktur”. In: Math. Nachr. 26 (1963), pp. 115–148. url: https://doi.org/10.1002/mana.19630260109.

[Law73]

F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).

[LRT]

Anna Lenzhen, Kasra Rafi, and Jing Tao. Bounded combinatorics and the Lipschitz metric on Teichmüller space. arXiv: 1011.6078.

[Min05]

Igor Mineyev. “Flows and joins of metric spaces”. In: Geom. Topol. 9 (2005), pp. 403–482. arXiv: math/0503274. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.403.

[Rie04]

Marc A. Rieffel. “Compact quantum metric spaces”. In: Operator algebras, quantization, and noncommutative geometry. Vol. 365. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 315–330. url: https://doi.org/10.1090/conm/365/06709.

[Rie98]

Marc A. Rieffel. “Metrics on states from actions of compact groups”. In: Doc. Math. 3 (1998), pp. 215–229.

[Rie99]

Marc A. Rieffel. “Metrics on state spaces”. In: Doc. Math. 4 (1999), pp. 559–600.

[Thu]

William P. Thurston. Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces. arXiv: math/9801039.

[Tur]

Katharine Turner. Rips filtrations for quasi-metric spaces and asymmetric functions with stability results. arXiv: 1608.00365.