Free Abelian Category and Abelian Envelope

与えられた category を含む最小の Abelian category の構成は, 古くから考えられてきた。

まず, 任意の small category \(C\) が Abelian category に埋め込めることは, Freyd [Fre03] により示されている。

また [Fre66] では, その中で「最小のもの」として, 「\(C\) で生成された Abelian category」\(\category {Ab}(C)\) が存在することが示されている。 より正確には, 合成可能な2つの morphisms の組の族 \(\cE =\{A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\}\) が指定された small category \(C\) に対し, Abelian category \(\category {Ab}(C)\) と exactness condition を保つ functor \(i: C\to \category {Ab}(C)\) で, exactness condition を保つ Abelian category への functor \(C\to \bm {A}\) に対し universality を持つものが存在することが示されている。

\(\cE \) が空集合のとき, \(C\) で生成された free Abelian category と呼ぶ。

• category with exactness conditions
• Freyd の free Abelian category

その explicit で直接的な構成として Adelman [Ade73] によるものがある。

• Adelman の free Abelian category

\(C\) が additive category の場合, Beligiannis [Bel00] は, additive category \(A(C)\) と \(B(C)\) を構成し, \(A(B(C))\) が Freyd の free Abelian category であることを示している。 Beligiannis の構成と同値なものは, Krause [Kra98] によっても独立に得られたようである。

可換環 \(R\) 上の \(R\)-linear category の場合は, Barbieri-Viale と Prest の [BP18] の §1.4 にある。

これらのことがまとまって書かれたものとして, Krause の本 [Kra22] や Prest の [Pre11] などがある。

References

[Ade73]

Murray Adelman. “Abelian categories over additive ones”. In: J. Pure Appl. Algebra 3 (1973), pp. 103–117. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(73)90026-1.

[Bel00]

Apostolos Beligiannis. “On the Freyd categories of an additive category”. In: Homology Homotopy Appl. 2 (2000), pp. 147–185. url: https://doi.org/10.4310/hha.2000.v2.n1.a11.

[BP18]

Luca Barbieri-Viale and Mike Prest. “Definable categories and \(\mathbb {T}\)-motives”. In: Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 139 (2018), pp. 205–224. arXiv: 1604.00153. url: https://doi.org/10.4171/RSMUP/139-8.

[Fre03]

Peter J. Freyd. “Abelian categories”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 3 (2003), pp. 1–190.

[Fre66]

Peter Freyd. “Representations in abelian categories”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). New York: Springer, 1966, pp. 95–120.

[Kra22]

Henning Krause. Homological theory of representations. Vol. 195. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2022, pp. xxxiv+482. isbn: 978-1-108-83889-4.

[Kra98]

Henning Krause. “Functors on locally finitely presented additive categories”. In: Colloq. Math. 75.1 (1998), pp. 105–132. url: https://doi.org/10.4064/cm-75-1-105-132.

[Pre11]

Mike Prest. “Definable additive categories: purity and model theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 210.987 (2011), pp. vi+109. url: https://doi.org/10.1090/S0065-9266-2010-00593-3.