Simplicial Homotopy

Simplicial set の圏には単体がある。 \[ \Delta ^{n}([k]) = \Delta ([k],[n]) \] として定義される \(\Delta ^{n}\) が \(n\)単体である。ここで \(\Delta ([k],[n])\) は, \([k]\) から \([n]\) への \(\Delta \) の morphism の集合である。

特に \(\Delta ^{1}\) を単位区間 \([0,1]\) の simplicial 版とみなすと, ホモトピーが定義できる。Simplicial map \(f,g:X\to Y\) に対し, simplicial map \[ H : X\times \Delta ^{1} \rarrow {} Y \] で次の図式を可換にするものを \(f\) から \(g\) へのホモトピーと呼ぶのが自然だろう。 \[ \xymatrix { X\times \Delta ^0 \ar [d]_{1\times d^1} \ar [r]^{\cong } & X \ar [d]^{f} \\ X\times \Delta ^1 \ar [r]^{H} & Y \\ X\times \Delta ^{0} \ar [u]^{1\times d^0} \ar [r]_{\cong } & X \ar [u]_{g} } \] Goerss と Jardine の本 [GJ09] では, これが定義になっている。

ただ, 実際にホモトピーを構成するときには, この定義ではなくより具体的に表したものを使う。 つまり, \(n\ge 0\) と \(0\le i\le n\) に対し定義された写像の族 \[ H_{n,i} : X_{n} \rarrow {} Y_{n+1} \] で以下の条件をみたすものである: \[ \begin {align*} d_0H_{n,0} & = f_n \\ d_{n+1}H_{n,n} & = g_n \\ d_i H_{n,j} & = \begin {cases} H_{n-1,j-1}d_i & \text { if } i<j \\ d_{i}H_{n,i-1}, & \text { if } i=j>0 \\ H_{n-1,j}d_{i-1} & \text { if } i>j+1 \end {cases} \\ s_i H_{n,j} & = \begin {cases} H_{n+1,j+1} s_i & \text { if } i\le j \\ H_{n+1,j}s_{i-1} & \text { if } i>j. \end {cases} \end {align*} \] 例えば, May の本 [May92] の Chapter I section 5 にある。

この2種類のホモトピーが1対1に対応することは, これらの文献には書かれていないが, 例えば, \(H\) から \(H_{n,i}\) を作るには \[ H_{n,i}(x) = H([n+1])(s_i(x),s^0\cdots s^{i-1}s^{i+1}\cdots s^{n}) \] とおけばよい。これが上の条件をみたすことを確かめるのは, 良い練習問題だと思う。

更に, 可縮であることを示すときには, “extra degeneracy” を作ればよい, ということも良く知られている。 これについては, Barr, Kennison, Raphael [BKR19] に詳しく書かれている。そこでは strong extra degeneracy とか reduced homotopy なども定義されている。

• extra degeneracy
• strong extra degeneracy
• reduced homotopy

References

[BKR19]

Michael Barr, John F. Kennison, and Robert Raphael. “Contractible simplicial objects”. In: Comment. Math. Univ. Carolin. 60.4 (2019), pp. 473–495.

[GJ09]

Paul G. Goerss and John F. Jardine. Simplicial homotopy theory. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1999 edition [MR1711612]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, pp. xvi+510. isbn: 978-3-0346-0188-7. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4.

[May92]

J. Peter May. Simplicial objects in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Reprint of the 1967 original. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1992, pp. viii+161. isbn: 0-226-51181-2.