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この Quanta Magazine の記事によると, 1600年代に立方体 (サイコロ) を適当に回転させて自分自身の中を通り抜けられるかどうかに関し,
賭けが行なわれたらしい。その賭けに Prince Rupert が勝ったことから, これが可能な convex body は, Rupert
property を持つと呼ばれる。もっとも数学的な証明は Wallis [Wal85] によるらしいが。
その後, \(3\)次元 凸多面体の場合に調べられるようになり, 以下の場合が証明された。
- 正四面体と正八面体 [Scr68]
- 残りの\(3\)次元正多面体 [JWY17]
-
\(13\) の Archimedes の多面体の内 \(8\) 種類 [CYZ18]
- truncated tetrahedron [Hof19; Lav19]
- truncated icosidodecahedron [SY23]
- Archimedes の多面体の双対多面体の内 \(9\) 種類 [SY23]
- 更に \(2\) 種類の Archimedes 多面体の双対 [Fre24]
-
\(92\) 種類の Johnson solid (Zalgaller 多面体) の内 \(82\) 種類 [SY23]
- 更に \(5\) 種類の Johnson solid [Fre24]
上記の Quanta Magazine の記事は, Steininger と Yurkevich [SY] による Rupert property
を持たない例の構成に関するものである。
高次元の場合は, 以下の場合が調べられている。
- regular \(n\)-simplex [MT10]
- regular \(n\)-cube [HSW18]
- rectangular box [Bez+21]
- sequentially acute \(n\)-simplex [TW24]
- regular \(n\)-octahedron [TW24]
- generalized \(n\)-octahedron [TW24]
References
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[Bez+21]
-
András
Bezdek, Zhenyue Guan, Mihály Hujter, and Antal Joós. “Cubes and
boxes have Rupert’s passages in every nontrivial direction”. In: Amer.
Math. Monthly 128.6 (2021), pp. 534–542. arXiv: 2111.03817. url:
https://doi.org/10.1080/00029890.2021.1901461.
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[CYZ18]
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Ying Chai, Liping Yuan, and Tudor Zamfirescu. “Rupert property
of Archimedean
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https://doi.org/10.1080/00029890.2018.1449505.
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[Fre24]
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Albin Fredriksson. “Optimizing for the Rupert property”. In: Amer.
Math. Monthly 131.3 (2024), pp. 255–261. arXiv: 2210.00601. url:
https://doi.org/10.1080/00029890.2023.2285200.
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[Hof19]
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Balázs Hoffmann. “Rupert properties of polyhedra and the
generalised Nieuwland constant”. In: J. Geom. Graph. 23.1 (2019),
pp. 29–35.
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[HSW18]
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Greg Huber, Kay Pechenick Shultz, and John E. Wetzel. “The \(n\)-cube
is Rupert”. In: Amer. Math. Monthly 125.6 (2018), pp. 505–512. url:
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[JWY17]
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Richard P. Jerrard, John E. Wetzel,
and Liping Yuan. “Platonic passages”. In: Math. Mag. 90.2 (2017),
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[Lav19]
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Rupert”. In: Amer. Math. Monthly 126.10 (2019), pp. 929–932. url:
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[Scr68]
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[SY]
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[SY23]
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[TW24]
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Pongbunthit Tonpho and Wacharin Wichiramala. “Rupert property
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and \(n\)-octahedrons”. In: Geom. Dedicata 218.2 (2024), Paper No. 51,
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[Wal85]
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John Wallis. Opera Mathematica: De algebra tractatus : historicus &
practicus. 2. Theatro Sheldoniano, 1685.
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